Задание 9 ЕГЭ профиль: производная

Производная и первообразная по графику, касательная, экстремумы. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 121 задача с ответами и решениями, на этой странице 31–40.

1. Знак производной по графику функцииОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечено десять точек: $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$, $x_{5}$, $x_{6}$, $x_{7}$, $x_{8}$, $x_{9}$, $x_{10}$. Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции $f(x)$ отрицательна.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 6

   Производная отрицательна там, где функция убывает: график идёт вниз при движении слева направо. Смотрим, на каких участках лежат отмеченные точки: на участках убывания их $6$.

   Отдельная страница задачи
2. Сравнение производной в точкахОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечены точки $-\,2$, $-\,1$, 3, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: −1

   Производная равна угловому коэффициенту касательной. Наименьшая она там, где график круче всего опускается. Из отмеченных точек это $x = -1$.

   Отдельная страница задачи
3. Точки экстремума по графику производнойОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-\,4;\,8)$. Найдите точку экстремума функции $f(x)$, принадлежащую отрезку $[1;\,6]$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 4

   В точке экстремума производная меняет знак: график $f'$ пересекает ось $x$. Это происходит в точке $x = 4$.

   Отдельная страница задачи
4. Возрастание и убывание по графику производнойОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$. На оси абсцисс отмечено девять точек: $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$, $x_{5}$, $x_{6}$, $x_{7}$, $x_{8}$, $x_{9}$. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции $f(x)$?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 4

   Функция возрастает там, где её производная положительна, то есть график $y = f'(x)$ лежит выше оси $x$. Из отмеченных точек выше оси лежат $4$.

   Отдельная страница задачи
5. Точки экстремума по графику производнойОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-\,5;\,14)$. Найдите количество точек минимума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-\,4;\,9]$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 4

   В точке минимума производная меняет с минуса на плюс (график $f'$ пересекает ось $x$ снизу вверх). На отрезке $[-4;\,9]$ таких пересечений $4$, это и есть количество точек минимума.

   Отдельная страница задачи
6. Точки экстремума по графику производнойОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-\,15;\,5)$. Найдите количество точек максимума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-\,11;\,4]$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 2

   В точке максимума производная меняет с плюса на минус (график $f'$ пересекает ось $x$ сверху вниз). На отрезке $[-11;\,4]$ таких пересечений $2$, это и есть количество точек максимума.

   Отдельная страница задачи
7. Возрастание и убывание по графику производнойОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$. На оси абсцисс отмечено десять точек: $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$, $x_{5}$, $x_{6}$, $x_{7}$, $x_{8}$, $x_{9}$, $x_{10}$. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции $f(x)?$

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 6

   Функция возрастает там, где её производная положительна, то есть график $y = f'(x)$ лежит выше оси $x$. Из отмеченных точек выше оси лежат $6$.

   Отдельная страница задачи
8. Точки экстремума по графику производнойОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-\,10;\,7)$. Найдите количество точек минимума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-\,2;\,6]$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 1

   В точке минимума производная меняет с минуса на плюс (график $f'$ пересекает ось $x$ снизу вверх). На отрезке $[-2;\,6]$ таких пересечений $1$, это и есть количество точек минимума.

   Отдельная страница задачи
9. Касательная к графикуОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_{0}$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_{0}$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 1,4

   Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Касательная проходит через узлы клетки $(-6;\,-2)$ и $(-1;\,5)$:

   $$k = \frac{5 - (-2)}{-1 - (-6)} = \frac{7}{5} = 1{,}4.$$

   Отдельная страница задачи
10. Точки экстремума по графику производнойОткрытый банк ФИПИ

    На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-\,12;\,12)$. Найдите количество точек максимума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-\,6;\,11]$.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 5

    В точке максимума производная меняет с плюса на минус (график $f'$ пересекает ось $x$ сверху вниз). На отрезке $[-6;\,11]$ таких пересечений $5$, это и есть количество точек максимума.

    Отдельная страница задачи