Задание 9 ЕГЭ профиль: производная

Производная и первообразная по графику, касательная, экстремумы. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 121 задача с ответами и решениями, на этой странице 101–110.

1. Наибольшее и наименьшее значениеОткрытый банк ФИПИ

   Найдите наибольшее значение функции $y=7+12x-4x\sqrt{x}$ на отрезке $[0;\,12]$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 23

   $y' = 12 - 6\sqrt x$, производная равна нулю при $x = 4$, это точка максимума и она лежит на отрезке. Наибольшее значение $y(4) = 7 + 48 - 32 = 23$.

   Отдельная страница задачи
2. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку максимума функции $\displaystyle y=4+27x-x^{\frac{3}{2}}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 324

   $y' = 27 - \dfrac32\sqrt x$. $\sqrt x = 18$, $x = 324$. Левее этой точки производная положительна, правее отрицательна, это максимум.

   Отдельная страница задачи
3. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку максимума функции $y=x^{3}-147x+19$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: −7

   $y' = 3x^2 - 147 = 3(x - 7)(x + 7)$. Корни: $x = -7$ и $x = 7$. Производная положительна левее $-7$, отрицательна между корнями и снова положительна правее $7$.

   Точка максимума $x = -7$.

   Отдельная страница задачи
4. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку максимума функции $y=9\cdot \ln (x-4)-9x-7$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 5

   $y' = \dfrac{9}{x - 4} - 9$. Производная равна нулю при $x = 5$ и меняет знак с плюса на минус, это максимум.

   Отдельная страница задачи
5. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку минимума функции $y=x^{3}-192x+11$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 8

   $y' = 3x^2 - 192 = 3(x - 8)(x + 8)$. Корни: $x = -8$ и $x = 8$. Производная положительна левее $-8$, отрицательна между корнями и снова положительна правее $8$.

   Точка минимума $x = 8$.

   Отдельная страница задачи
6. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку максимума функции $y=x^{3}-300x+5$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: −10

   $y' = 3x^2 - 300 = 3(x - 10)(x + 10)$. Корни: $x = -10$ и $x = 10$. Производная положительна левее $-10$, отрицательна между корнями и снова положительна правее $10$.

   Точка максимума $x = -10$.

   Отдельная страница задачи
7. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку максимума функции $\displaystyle y=17+27x-2x^{\frac{3}{2}}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 81

   $y' = 27 - 3\sqrt x$. $\sqrt x = 9$, $x = 81$. Левее этой точки производная положительна, правее отрицательна, это максимум.

   Отдельная страница задачи
8. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку максимума функции $y=2+24x-x\sqrt{x}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 256

   $y' = 24 - \dfrac32\sqrt x$. $\sqrt x = 16$, $x = 256$. Левее этой точки производная положительна, правее отрицательна, это максимум.

   Отдельная страница задачи
9. Наибольшее и наименьшее значениеОткрытый банк ФИПИ

   Найдите наименьшее значение функции

   $\displaystyle y=12\cos x+\frac{45x}{\pi }-4$

   на отрезке $\displaystyle [-\,\frac{2\pi }{3};\,0]$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: −40

   $y' = -12\sin x + \dfrac{45}{\pi}$. На отрезке $\sin x \le 0$, производная положительна, функция возрастает, поэтому функция монотонна на отрезке и нужное значение принимает в конце $x = -\frac{2\pi}{3}$.

   $y(-\frac{2\pi}{3}) = 12 \cdot \left(-\dfrac12\right) - 30 - 4 = -40$.

   Отдельная страница задачи
10. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

    Найдите точку минимума функции $y=9x-9\cdot \ln (x+3)+4$.

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: −2

    $y' = 9 - \dfrac{9}{x + 3}$. Производная равна нулю при $x = -2$ и меняет знак с минуса на плюс, это минимум.

    Отдельная страница задачи