Задание 9 ЕГЭ профиль: производная

Производная и первообразная по графику, касательная, экстремумы. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 121 задача с ответами и решениями, на этой странице 51–60.

1. Касательная к графикуОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображены график функции $y=f\left(x\right)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_{0}$. Найдите значение производной функции $f\left(x\right)$ в точке $x_{0}$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: −0,2

   Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Касательная проходит через узлы клетки $(-1;\,3)$ и $(4;\,2)$:

   $$k = \frac{2 - 3}{4 - (-1)} = \frac{-1}{5} = −0{,}2.$$

   Отдельная страница задачи
2. Возрастание и убывание по графику производнойОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$. На оси абсцисс отмечено девять точек: $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$, $x_{5}$, $x_{6}$, $x_{7}$, $x_{8}$, $x_{9}$. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции $f(x)?$

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 5

   Функция убывает там, где её производная отрицательна, то есть график $y = f'(x)$ лежит ниже оси $x$. Из отмеченных точек ниже оси лежат $5$.

   Отдельная страница задачи
3. Касательная к графикуОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_{0}$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_{0}$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: −2,5

   Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Касательная проходит через узлы клетки $(-3;\,3)$ и $(-1;\,-2)$:

   $$k = \frac{-2 - 3}{-1 - (-3)} = \frac{-5}{2} = −2{,}5.$$

   Отдельная страница задачи
4. Сравнение производной в точкахОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечены точки $-\,2$, 1, 3, 4. В какой из этих точек значение производной функции $f(x)$ наибольшее? В ответе укажите эту точку.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 4

   Производная равна угловому коэффициенту касательной. Наибольшая она там, где график круче всего поднимается. Из отмеченных точек это $x = 4$.

   Отдельная страница задачи
5. Точки экстремума по графику производнойОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-\,12;\,11)$. Найдите количество точек максимума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-\,11;\,5]$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 4

   В точке максимума производная меняет с плюса на минус (график $f'$ пересекает ось $x$ сверху вниз). На отрезке $[-11;\,5]$ таких пересечений $4$, это и есть количество точек максимума.

   Отдельная страница задачи
6. Касательная к графикуОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_{0}$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_{0}$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 1,4

   Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Касательная проходит через узлы клетки $(3;\,1)$ и $(8;\,8)$:

   $$k = \frac{8 - 1}{8 - 3} = \frac{7}{5} = 1{,}4.$$

   Отдельная страница задачи
7. Наибольшее и наименьшее значение по графику производнойОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-\,6;\,5)$. В какой точке отрезка $[-\,5;\,-\,2]$ функция $f(x)$ принимает наименьшее значение?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: −5

   На отрезке $[-5;\,-2]$ график производной лежит выше оси $x$: $f'(x) > 0$, функция возрастает. Поэтому наименьшее значение она принимает в левом конце отрезка, в точке $-5$.

   Отдельная страница задачи
8. Касательная к графикуОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_{0}$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_{0}$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 0,2

   Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Касательная проходит через узлы клетки $(-2;\,2)$ и $(3;\,3)$:

   $$k = \frac{3 - 2}{3 - (-2)} = \frac{1}{5} = 0{,}2.$$

   Отдельная страница задачи
9. Знак производной по графику функцииОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечено десять точек: $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$, $x_{5}$, $x_{6}$, $x_{7}$, $x_{8}$, $x_{9}$, $x_{10}$. В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции $f(x)$ отрицательна.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 7

   Производная отрицательна там, где функция убывает: график идёт вниз при движении слева направо. Смотрим, на каких участках лежат отмеченные точки: на участках убывания их $7$.

   Отдельная страница задачи
10. Знак производной по графику функцииОткрытый банк ФИПИ

    На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$, $x_{5}$, $x_{6}$, $x_{7}$, $x_{8}$. В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции $f(x)$ положительна.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 5

    Производная положительна там, где функция возрастает: график идёт вверх при движении слева направо. Смотрим, на каких участках лежат отмеченные точки: на участках возрастания их $5$.

    Отдельная страница задачи