Задание 9 ЕГЭ профиль: производная

Производная и первообразная по графику, касательная, экстремумы. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 121 задача с ответами и решениями, на этой странице 111–120.

1. Наибольшее и наименьшее значениеОткрытый банк ФИПИ

   Найдите наименьшее значение функции

   $y=3\cos x-5x+5$

   на отрезке $\displaystyle [-\,\frac{3\pi }{2};\,0]$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 8

   $y' = -3\sin x - 5$. $-3\sin x \le 3 < 5$, производная отрицательна, функция убывает, поэтому функция монотонна на отрезке и нужное значение принимает в конце $x = 0$.

   $y(0) = 3 - 0 + 5 = 8$.

   Отдельная страница задачи
2. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку минимума функции $\displaystyle y=2x^{\frac{3}{2}}-15x+21$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 25

   $y' = 3\sqrt x - 15$. $\sqrt x = 5$, $x = 25$. Левее этой точки производная отрицательна, правее положительна, это минимум.

   Отдельная страница задачи
3. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку максимума функции $y=x^{2}\,-33x+136\cdot \ln x+74$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 8

   $y' = 2x - 33 + \dfrac{136}{x} = \dfrac{2x^2 - 33x + 136}{x}$ при $x > 0$. Корни числителя $x = 8$ и $x = \frac{17}{2}$. Производная положительна до меньшего корня, отрицательна между ними и положительна после.

   Точка максимума $x = 8$.

   Отдельная страница задачи
4. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку максимума функции $y=x^{3}+27x^{2}+11$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: −18

   $y' = 3x^2 + 54x = 3x(x + 18)$. Корни: $x = -18$ и $x = 0$. Производная положительна левее $-18$, отрицательна между корнями и снова положительна правее $0$.

   Точка максимума $x = -18$.

   Отдельная страница задачи
5. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку максимума функции $y=(x+8)\cdot e^{12\,-\,x}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: −7

   $y' = e^{12 - x} - (x + 8)e^{12 - x} = -(x + 7)e^{12 - x}$. Множитель $e^{12 - x}$ положителен, производная меняет знак с плюса на минус в точке $x = -7$, это максимум.

   Отдельная страница задачи
6. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку минимума функции $y=9x-\ln {(x-2)}^{9}\,-8$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 3

   $y' = 9 - \dfrac{9}{x - 2}$. Производная равна нулю при $x = 3$ и меняет знак с минуса на плюс, это минимум.

   Отдельная страница задачи
7. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку минимума функции $y=(8x^{2}\,-40x+40)e^{x\,+\,4}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 3

   $y' = (16x - 40)e^{x + 4} + (8x^2 - 40x + 40)e^{x + 4} = 8x(x - 3)e^{x + 4}$. Производная положительна при $x < 0$, отрицательна на $(0;\,3)$ и положительна при $x > 3$. Точка минимума $x = 3$.

   Отдельная страница задачи
8. Наибольшее и наименьшее значениеОткрытый банк ФИПИ

   Найдите наибольшее значение функции

   $y=\ln (8x)-8x+7$

   на отрезке $\displaystyle [\frac{1}{16};\,\frac{5}{16}]$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 6

   $y' = \dfrac1x - 8$, производная равна нулю при $x = \frac18$, это точка максимума и она лежит на отрезке. Наибольшее значение $y(\frac18) = \ln 1 - 1 + 7 = 6$.

   Отдельная страница задачи
9. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку максимума функции $y=x^{3}+10x^{2}+25x+16$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: −5

   $y' = 3x^2 + 20x + 25$. Корни: $x = -5$ и $x = -\frac53$. Производная положительна левее $-5$, отрицательна между корнями и снова положительна правее $-\frac53$.

   Точка максимума $x = -5$.

   Отдельная страница задачи
10. Наибольшее и наименьшее значениеОткрытый банк ФИПИ

    Найдите наибольшее значение функции

    $\displaystyle y=10\sin x-\frac{42x}{\pi }-12$

    на отрезке $\displaystyle [-\,\frac{5\pi }{6};\,0]$.

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 18

    $y' = 10\cos x - \dfrac{42}{\pi}$. $10\cos x \le 10 < \dfrac{42}{\pi}$, производная отрицательна, функция убывает, поэтому функция монотонна на отрезке и нужное значение принимает в конце $x = -\frac{5\pi}{6}$.

    $y(-\frac{5\pi}{6}) = 10 \cdot \left(-\dfrac12\right) + 35 - 12 = 18$.

    Отдельная страница задачи