Задание 9 ЕГЭ профиль: производная

Производная и первообразная по графику, касательная, экстремумы. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 121 задача с ответами и решениями, на этой странице 91–100.

1. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку минимума функции $y=5x-\ln {(x+3)}^{5}\,+6$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: −2

   $y' = 5 - \dfrac{5}{x + 3}$. Производная равна нулю при $x = -2$ и меняет знак с минуса на плюс, это минимум.

   Отдельная страница задачи
2. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку минимума функции $y=x^{3}-27x^{2}+17$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 18

   $y' = 3x^2 - 54x = 3x(x - 18)$. Корни: $x = 0$ и $x = 18$. Производная положительна левее $0$, отрицательна между корнями и снова положительна правее $18$.

   Точка минимума $x = 18$.

   Отдельная страница задачи
3. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку минимума функции $y=x^{3}-300x+14$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 10

   $y' = 3x^2 - 300 = 3(x - 10)(x + 10)$. Корни: $x = -10$ и $x = 10$. Производная положительна левее $-10$, отрицательна между корнями и снова положительна правее $10$.

   Точка минимума $x = 10$.

   Отдельная страница задачи
4. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку максимума функции $y=x^{3}+16x^{2}+64x+12$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: −8

   $y' = 3x^2 + 32x + 64$. Корни: $x = -8$ и $x = -\frac83$. Производная положительна левее $-8$, отрицательна между корнями и снова положительна правее $-\frac83$.

   Точка максимума $x = -8$.

   Отдельная страница задачи
5. Наибольшее и наименьшее значениеОткрытый банк ФИПИ

   Найдите наименьшее значение функции

   $\displaystyle y=10\cos x+\frac{36x}{\pi }-6$

   на отрезке $\displaystyle [-\,\frac{2\pi }{3};\,0]$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: −35

   $y' = -10\sin x + \dfrac{36}{\pi}$. На отрезке $\sin x \le 0$, производная положительна, функция возрастает, поэтому функция монотонна на отрезке и нужное значение принимает в конце $x = -\frac{2\pi}{3}$.

   $y(-\frac{2\pi}{3}) = 10 \cdot \left(-\dfrac12\right) - 24 - 6 = -35$.

   Отдельная страница задачи
6. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку максимума функции $y=\ln {(x+3)}^{7}\,-7x-9$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: −2

   $y' = \dfrac{7}{x + 3} - 7$. Производная равна нулю при $x = -2$ и меняет знак с плюса на минус, это максимум.

   Отдельная страница задачи
7. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку минимума функции $\displaystyle y=x^{\frac{3}{2}}-3x+9$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 4

   $y' = \dfrac32\sqrt x - 3$. $\sqrt x = 2$, $x = 4$. Левее этой точки производная отрицательна, правее положительна, это минимум.

   Отдельная страница задачи
8. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку минимума функции $y=x^{3}-12x^{2}+36x+17$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 6

   $y' = 3x^2 - 24x + 36 = 3(x - 2)(x - 6)$. Корни: $x = 2$ и $x = 6$. Производная положительна левее $2$, отрицательна между корнями и снова положительна правее $6$.

   Точка минимума $x = 6$.

   Отдельная страница задачи
9. Наибольшее и наименьшее значениеОткрытый банк ФИПИ

   Найдите наибольшее значение функции

   $\displaystyle y=10\sin x-\frac{36x}{\pi }+7$

   на отрезке $\displaystyle [-\,\frac{5\pi }{6};\,0]$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 32

   $y' = 10\cos x - \dfrac{36}{\pi}$. $10\cos x \le 10 < \dfrac{36}{\pi}$, производная отрицательна, функция убывает, поэтому функция монотонна на отрезке и нужное значение принимает в конце $x = -\frac{5\pi}{6}$.

   $y(-\frac{5\pi}{6}) = 10 \cdot \left(-\dfrac12\right) + 30 + 7 = 32$.

   Отдельная страница задачи
10. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

    Найдите точку максимума функции $y=\ln (x-2)-5x+13$.

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 2,2

    $y' = \dfrac{1}{x - 2} - 5$. Производная равна нулю при $x = 2{,}2$ и меняет знак с плюса на минус, это максимум.

    Отдельная страница задачи