Задание 9 ЕГЭ профиль: производная

Производная и первообразная по графику, касательная, экстремумы. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 121 задача с ответами и решениями, на этой странице 71–80.

1. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку минимума функции $y=x^{3}-14x^{2}+49x+3$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 7

   $y' = 3x^2 - 28x + 49$. Корни: $x = \frac73$ и $x = 7$. Производная положительна левее $\frac73$, отрицательна между корнями и снова положительна правее $7$.

   Точка минимума $x = 7$.

   Отдельная страница задачи
2. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку минимума функции $y=3x-3\cdot \ln (x-7)-8$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 8

   $y' = 3 - \dfrac{3}{x - 7}$. Производная равна нулю при $x = 8$ и меняет знак с минуса на плюс, это минимум.

   Отдельная страница задачи
3. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку максимума функции $y=x^{3}-108x+23$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: −6

   $y' = 3x^2 - 108 = 3(x - 6)(x + 6)$. Корни: $x = -6$ и $x = 6$. Производная положительна левее $-6$, отрицательна между корнями и снова положительна правее $6$.

   Точка максимума $x = -6$.

   Отдельная страница задачи
4. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку максимума функции $y=x^{3}+14x^{2}+49x+8$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: −7

   $y' = 3x^2 + 28x + 49$. Корни: $x = -7$ и $x = -\frac73$. Производная положительна левее $-7$, отрицательна между корнями и снова положительна правее $-\frac73$.

   Точка максимума $x = -7$.

   Отдельная страница задачи
5. Наибольшее и наименьшее значениеОткрытый банк ФИПИ

   Найдите наименьшее значение функции

   $y=12x-\ln (12x)+4$

   на отрезке $\displaystyle [\frac{1}{24};\,\frac{5}{24}]$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 5

   $y' = 12 - \dfrac1x$, производная равна нулю при $x = \frac1{12}$, это точка минимума и она лежит на отрезке. Наименьшее значение $y(\frac1{12}) = 1 - \ln 1 + 4 = 5$.

   Отдельная страница задачи
6. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку минимума функции $y=x^{3}-18x^{2}+81x+17$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 9

   $y' = 3x^2 - 36x + 81 = 3(x - 3)(x - 9)$. Корни: $x = 3$ и $x = 9$. Производная положительна левее $3$, отрицательна между корнями и снова положительна правее $9$.

   Точка минимума $x = 9$.

   Отдельная страница задачи
7. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку максимума функции $y=10\cdot \ln (x-2)-10x+11$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 3

   $y' = \dfrac{10}{x - 2} - 10$. Производная равна нулю при $x = 3$ и меняет знак с плюса на минус, это максимум.

   Отдельная страница задачи
8. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку минимума функции $y=x\sqrt{x}-3x+17$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 4

   $y' = \dfrac32\sqrt x - 3$. $\sqrt x = 2$, $x = 4$. Левее этой точки производная отрицательна, правее положительна, это минимум.

   Отдельная страница задачи
9. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку максимума функции $y=\ln (x-7)-2x-3$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 7,5

   $y' = \dfrac{1}{x - 7} - 2$. Производная равна нулю при $x = 7{,}5$ и меняет знак с плюса на минус, это максимум.

   Отдельная страница задачи
10. Наибольшее и наименьшее значениеОткрытый банк ФИПИ

    Найдите наибольшее значение функции

    $y=9\ln (x+7)-9x+4$

    на отрезке $[-\,6{,}5;\,0]$.

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 58

    $y' = \dfrac{9}{x + 7} - 9$, производная равна нулю при $x = -6$, это точка максимума и она лежит на отрезке. Наибольшее значение $y(-6) = 9\ln 1 + 54 + 4 = 58$.

    Отдельная страница задачи