Задание 9 ЕГЭ профиль: производная

Производная и первообразная по графику, касательная, экстремумы. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 121 задача с ответами и решениями, на этой странице 11–20.

1. Знак производной по графику функцииОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$, $x_{5}$, $x_{6}$, $x_{7}$, $x_{8}$. Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции $f(x)$ положительна.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 2

   Производная положительна там, где функция возрастает: график идёт вверх при движении слева направо. Смотрим, на каких участках лежат отмеченные точки: на участках возрастания их $2$.

   Отдельная страница задачи
2. Касательная к графикуОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображены график функции $y=f\left(x\right)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_{0}$. Найдите значение производной функции $f\left(x\right)$ в точке $x_{0}$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 1,6

   Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Касательная проходит через узлы клетки $(-3;\,-3)$ и $(2;\,5)$:

   $$k = \frac{5 - (-3)}{2 - (-3)} = \frac{8}{5} = 1{,}6.$$

   Отдельная страница задачи
3. Точки экстремума по графику производнойОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-\,19;\,3)$. Найдите количество точек экстремума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-\,17;\,-\,4]$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 4

   В точке экстремума производная меняет знак, то есть график $f'$ пересекает ось $x$. На отрезке $[-17;\,-4]$ таких пересечений $4$, это и есть количество точек экстремума.

   Отдельная страница задачи
4. Наибольшее и наименьшее значение по графику производнойОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график $y=f'\left(x\right)$ — производной функции $f\left(x\right)$, определённой на интервале $\left(-\,9;\,4\right)$. В какой точке отрезка $\left[-\,2;\,3\right]$ функция $f\left(x\right)$ принимает наименьшее значение?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 3

   На отрезке $[-2;\,3]$ график производной лежит ниже оси $x$: $f'(x) < 0$, функция убывает. Поэтому наименьшее значение она принимает в правом конце отрезка, в точке $3$.

   Отдельная страница задачи
5. Знак производной по графику функцииОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$, $x_{5}$, $x_{6}$, $x_{7}$, $x_{8}$. Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции $f(x)$ отрицательна.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 3

   Производная отрицательна там, где функция убывает: график идёт вниз при движении слева направо. Смотрим, на каких участках лежат отмеченные точки: на участках убывания их $3$.

   Отдельная страница задачи
6. Касательная к графикуОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_{0}$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_{0}$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 1,5

   Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Касательная проходит через узлы клетки $(-3;\,-4)$ и $(3;\,5)$:

   $$k = \frac{5 - (-4)}{3 - (-3)} = \frac{9}{6} = 1{,}5.$$

   Отдельная страница задачи
7. Наибольшее и наименьшее значение по графику производнойОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график $y=f'\left(x\right)$ — производной функции $f\left(x\right)$, определённой на интервале $\left(-\,4;\,8\right)$. В какой точке отрезка $\left[-\,2;\,3\right]$ функция $f\left(x\right)$ принимает наибольшее значение?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 3

   На отрезке $[-2;\,3]$ график производной лежит выше оси $x$: $f'(x) > 0$, функция возрастает. Поэтому наибольшее значение она принимает в правом конце отрезка, в точке $3$.

   Отдельная страница задачи
8. Касательная к графикуОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображены график функции $y=f\left(x\right)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_{0}$. Найдите значение производной функции $f\left(x\right)$ в точке $x_{0}$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 0,25

   Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Касательная проходит через узлы клетки $(-4;\,1)$ и $(4;\,3)$:

   $$k = \frac{3 - 1}{4 - (-4)} = \frac{2}{8} = 0{,}25.$$

   Отдельная страница задачи
9. Возрастание и убывание по графику производнойОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$. На оси абсцисс отмечено одиннадцать точек: $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$, $x_{5}$, $x_{6}$, $x_{7}$, $x_{8}$, $x_{9}$, $x_{10}$, $x_{11}$. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции $f(x)$?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 6

   Функция убывает там, где её производная отрицательна, то есть график $y = f'(x)$ лежит ниже оси $x$. Из отмеченных точек ниже оси лежат $6$.

   Отдельная страница задачи
10. Возрастание и убывание по графику производнойОткрытый банк ФИПИ

    На рисунке изображён график $y=f'\left(x\right)$ — производной функции $f\left(x\right)$. На оси абсцисс отмечено девять точек: $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$, $x_{5}$, $x_{6}$, $x_{7}$, $x_{8}$, $x_{9}$. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции $f\left(x\right)$?

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 2

    Функция убывает там, где её производная отрицательна, то есть график $y = f'(x)$ лежит ниже оси $x$. Из отмеченных точек ниже оси лежат $2$.

    Отдельная страница задачи