Задание 9 ЕГЭ профиль: производная

Производная и первообразная по графику, касательная, экстремумы. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 121 задача с ответами и решениями, на этой странице 21–30.

1. Касательная к графикуОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображены график функции $y=f\left(x\right)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_{0}$. Найдите значение производной функции $f\left(x\right)$ в точке $x_{0}$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: −1,25

   Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Касательная проходит через узлы клетки $(-3;\,-2)$ и $(1;\,-7)$:

   $$k = \frac{-7 - (-2)}{1 - (-3)} = \frac{-5}{4} = −1{,}25.$$

   Отдельная страница задачи
2. Сравнение производной в точкахОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечены точки $-\,1$, 2, 3, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: −1

   Производная равна угловому коэффициенту касательной. Наибольшая она там, где график круче всего поднимается. Из отмеченных точек это $x = -1$.

   Отдельная страница задачи
3. Возрастание и убывание по графику производнойОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график $y=f\,'(x)$ — производной функции $f(x)$. На оси абсцисс отмечено семь точек: $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$, $x_{5}$, $x_{6}$, $x_{7}$. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции $f(x)$?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 2

   Функция убывает там, где её производная отрицательна, то есть график $y = f'(x)$ лежит ниже оси $x$. Из отмеченных точек ниже оси лежат $2$.

   Отдельная страница задачи
4. Касательная к графикуОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_{0}$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_{0}$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: −3

   Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Касательная проходит через узлы клетки $(-5;\,7)$ и $(-2;\,-2)$:

   $$k = \frac{-2 - 7}{-2 - (-5)} = \frac{-9}{3} = −3.$$

   Отдельная страница задачи
5. Знак производной по графику функцииОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечено семь точек: $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$, $x_{5}$, $x_{6}$, $x_{7}$. Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции $f(x)$ положительна.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 4

   Производная положительна там, где функция возрастает: график идёт вверх при движении слева направо. Смотрим, на каких участках лежат отмеченные точки: на участках возрастания их $4$.

   Отдельная страница задачи
6. Возрастание и убывание по графику производнойОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график $y=f\,'(x)$ — производной функции $f(x)$. На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$, $x_{5}$, $x_{6}$, $x_{7}$, $x_{8}$. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции $f(x)$?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 4

   Функция возрастает там, где её производная положительна, то есть график $y = f'(x)$ лежит выше оси $x$. Из отмеченных точек выше оси лежат $4$.

   Отдельная страница задачи
7. Наибольшее и наименьшее значение по графику производнойОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-\,9;\,3)$. В какой точке отрезка $[-\,7;\,-\,5]$ функция $f(x)$ принимает наибольшее значение?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: −7

   На отрезке $[-7;\,-5]$ график производной лежит ниже оси $x$: $f'(x) < 0$, функция убывает. Поэтому наибольшее значение она принимает в левом конце отрезка, в точке $-7$.

   Отдельная страница задачи
8. Точки экстремума по графику производнойОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-\,20;\,4)$. Найдите количество точек экстремума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-\,16;\,1]$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 5

   В точке экстремума производная меняет знак, то есть график $f'$ пересекает ось $x$. На отрезке $[-16;\,1]$ таких пересечений $5$, это и есть количество точек экстремума.

   Отдельная страница задачи
9. Нули производной по графику функцииОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график функции $y=f\left(x\right)$, определённой на интервале $\left(-\,10;\,3\right)$. Найдите количество корней уравнения $f'\left(x\right)=0$, принадлежащих отрезку $\left[-\,7;\,2\right]$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 5

   Производная равна нулю в точках, где касательная горизонтальна: на вершинах и во впадинах графика. На отрезке $[-7;\,2]$ таких точек $5$.

   Отдельная страница задачи
10. Касательная к графикуОткрытый банк ФИПИ

    На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_{0}$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_{0}$.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: −0,25

    Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Касательная проходит через узлы клетки $(-3;\,5)$ и $(5;\,3)$:

    $$k = \frac{3 - 5}{5 - (-3)} = \frac{-2}{8} = −0{,}25.$$

    Отдельная страница задачи