Задание 9 ЕГЭ профиль: производная

Производная и первообразная по графику, касательная, экстремумы. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 121 задача с ответами и решениями, на этой странице 61–70.

1. Знак производной по графику функцииОткрытый банк ФИПИ

   На рисунке изображён график функции $y=f\left(x\right)$. На оси абсцисс отмечено десять точек: $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$, $x_{5}$, $x_{6}$, $x_{7}$, $x_{8}$, $x_{9}$, $x_{10}$. Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции $f\left(x\right)$ положительна.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 5

   Производная положительна там, где функция возрастает: график идёт вверх при движении слева направо. Смотрим, на каких участках лежат отмеченные точки: на участках возрастания их $5$.

   Отдельная страница задачи
2. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку минимума функции $y=x^{2}\,-28x+96\cdot \ln x+31$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 8

   $y' = 2x - 28 + \dfrac{96}{x} = \dfrac{2(x - 6)(x - 8)}{x}$ при $x > 0$. Корни числителя $x = 6$ и $x = 8$. Производная положительна до меньшего корня, отрицательна между ними и положительна после.

   Точка минимума $x = 8$.

   Отдельная страница задачи
3. Наибольшее и наименьшее значениеОткрытый банк ФИПИ

   Найдите наименьшее значение функции

   $y=10\cos x+14x+9$

   на отрезке $\displaystyle \left[0;\,\frac{3\pi }{2}\right]$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 19

   $y' = -10\sin x + 14$. $|10\sin x| \le 10 < 14$, производная положительна, поэтому функция монотонна на отрезке и нужное значение принимает в конце $x = 0$.

   $y(0) = 10 + 0 + 9 = 19$.

   Отдельная страница задачи
4. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку минимума функции $\displaystyle y=2x^{\frac{3}{2}}-21x+16$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 49

   $y' = 3\sqrt x - 21$. $\sqrt x = 7$, $x = 49$. Левее этой точки производная отрицательна, правее положительна, это минимум.

   Отдельная страница задачи
5. Наибольшее и наименьшее значениеОткрытый банк ФИПИ

   Найдите наименьшее значение функции

   $y=10\cos x-14x+5$

   на отрезке $\displaystyle [-\,\frac{3\pi }{2};\,0]$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 15

   $y' = -10\sin x - 14$. $-10\sin x \le 10 < 14$, производная отрицательна, функция убывает, поэтому функция монотонна на отрезке и нужное значение принимает в конце $x = 0$.

   $y(0) = 10 - 0 + 5 = 15$.

   Отдельная страница задачи
6. Наибольшее и наименьшее значениеОткрытый банк ФИПИ

   Найдите наибольшее значение функции

   $y=\ln {(x+9)}^{5}-5x$

   на отрезке $[-\,8{,}5;\,0]$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 40

   $y' = \dfrac{5}{x + 9} - 5$, производная равна нулю при $x = -8$, это точка максимума и она лежит на отрезке. Наибольшее значение $y(-8) = 5\ln 1 + 40 = 40$.

   Отдельная страница задачи
7. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку максимума функции $\displaystyle y=15+24x-x^{\frac{3}{2}}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 256

   $y' = 24 - \dfrac32\sqrt x$. $\sqrt x = 16$, $x = 256$. Левее этой точки производная положительна, правее отрицательна, это максимум.

   Отдельная страница задачи
8. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку максимума функции $y=3{,}5x^{2}\,-29x+30\cdot \ln x+67$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 2

   $y' = 7x - 29 + \dfrac{30}{x} = \dfrac{7x^2 - 29x + 30}{x}$ при $x > 0$. Корни числителя $x = 2$ и $x = \frac{15}{7}$. Производная положительна до меньшего корня, отрицательна между ними и положительна после.

   Точка максимума $x = 2$.

   Отдельная страница задачи
9. Точка экстремумаОткрытый банк ФИПИ

   Найдите точку максимума функции $y=x^{3}+30x^{2}+225x+23$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: −15

   $y' = 3x^2 + 60x + 225 = 3(x + 5)(x + 15)$. Корни: $x = -15$ и $x = -5$. Производная положительна левее $-15$, отрицательна между корнями и снова положительна правее $-5$.

   Точка максимума $x = -15$.

   Отдельная страница задачи
10. Наибольшее и наименьшее значениеОткрытый банк ФИПИ

    Найдите наименьшее значение функции

    $y=9x-\ln {(x+5)}^{9}$

    на отрезке $[-\,4{,}5;\,0]$.

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: −36

    $y' = 9 - \dfrac{9}{x + 5}$, производная равна нулю при $x = -4$, это точка минимума и она лежит на отрезке. Наименьшее значение $y(-4) = -36 - 9\ln 1 = -36$.

    Отдельная страница задачи