Задание 16 ОГЭ: окружность

Вписанные и центральные углы, касательные, вписанные и описанные фигуры. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 313 задач с ответами и решениями, на этой странице 101–110.

1. Вписанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $52^\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 128

   Углы $A$ и $B$ прилежат к боковой стороне трапеции, их сумма $180^\circ$: $\angle B = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ$.

   Отдельная страница задачи
2. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 20. Найдите высоту этой трапеции.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 40

   Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: $2 \cdot 20 = 40$.

   Отдельная страница задачи
3. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 14. Найдите высоту этой трапеции.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 28

   Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: $2 \cdot 14 = 28$.

   Отдельная страница задачи
4. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 32. Найдите высоту этой трапеции.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 64

   Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: $2 \cdot 32 = 64$.

   Отдельная страница задачи
5. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Сторона квадрата равна 56. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 28

   Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата: $r = 56 : 2 = 28$.

   Отдельная страница задачи
6. Вписанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Угол $A$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равен $112^\circ$. Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 68

   У вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов $180^\circ$: $\angle C = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$.

   Отдельная страница задачи
7. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $108^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 36

   Углы $AOD$ и $AOB$ смежные: $\angle AOB = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$. Вписанный угол $ACB$ опирается на ту же дугу $AB$, что и центральный $AOB$, и вдвое меньше: $36^\circ$.

   Отдельная страница задачи
8. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 19.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 1444

   Сторона квадрата равна диаметру окружности: $a = 2 \cdot 19 = 38$, площадь $38^2 = 1444$.

   Отдельная страница задачи
9. Описанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   В треугольнике $ABC$ известно, что $AC=7$, $BC=24$, угол $C$ равен $90^\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 12,5

   Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности: $AB = \sqrt{7^2 + 24^2} = 25$, $R = 25 : 2 = 12{,}5$.

   Отдельная страница задачи
10. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

    Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $134^\circ$, угол $CAD$ равен $81^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 53

    Углы $DBC$ и $DAC$ опираются на одну дугу $DC$, поэтому $\angle DBC = 81^\circ$. Тогда $\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC = 134^\circ - 81^\circ = 53^\circ$.

    Отдельная страница задачи