Задание 16 ОГЭ: окружность

Вписанные и центральные углы, касательные, вписанные и описанные фигуры. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 313 задач с ответами и решениями, на этой странице 251–260.

1. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $10\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 60

   Для равностороннего треугольника $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$, откуда $a = 2\sqrt{3}\,r = 2 \cdot 10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 60$.

   Отдельная страница задачи
2. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Сторона квадрата равна $14\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 14

   Радиус описанной окружности равен половине диагонали: диагональ $14\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 28$, радиус $14$.

   Отдельная страница задачи
3. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Сторона квадрата равна $40\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 40

   Радиус описанной окружности равен половине диагонали: диагональ $40\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 80$, радиус $40$.

   Отдельная страница задачи
4. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Сторона квадрата равна $12\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 12

   Радиус описанной окружности равен половине диагонали: диагональ $12\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 24$, радиус $12$.

   Отдельная страница задачи
5. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $112^\circ$, угол $CAD$ равен $70^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 42

   Углы $DBC$ и $DAC$ опираются на одну дугу $DC$, поэтому $\angle DBC = 70^\circ$. Тогда $\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC = 112^\circ - 70^\circ = 42^\circ$.

   Отдельная страница задачи
6. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Найдите угол $ABC$, если угол $BAC$ равен $74^\circ$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 16

   Центр на стороне $AB$, значит, $AB$ диаметр и угол $C$, опирающийся на него, прямой. Тогда $\angle ABC = 90^\circ - 74^\circ = 16^\circ$.

   Отдельная страница задачи
7. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 18. Найдите высоту этой трапеции.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 36

   Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: $2 \cdot 18 = 36$.

   Отдельная страница задачи
8. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $3\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 9

   Для равностороннего треугольника $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$, откуда $a = R\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9$.

   Отдельная страница задачи
9. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Найдите угол $ABC$, если угол $BAC$ равен $17^\circ$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 73

   Центр на стороне $AB$, значит, $AB$ диаметр и угол $C$, опирающийся на него, прямой. Тогда $\angle ABC = 90^\circ - 17^\circ = 73^\circ$.

   Отдельная страница задачи
10. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

    Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $39^\circ$, угол $CAD$ равен $55^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 94

    Углы $DBC$ и $DAC$ опираются на одну дугу $DC$, поэтому $\angle DBC = 55^\circ$. Тогда $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 39^\circ + 55^\circ = 94^\circ$.

    Отдельная страница задачи