Задание 16 ОГЭ: окружность

Вписанные и центральные углы, касательные, вписанные и описанные фигуры. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 313 задач с ответами и решениями, на этой странице 161–170.

1. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Сторона квадрата равна 22. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 11

   Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата: $r = 22 : 2 = 11$.

   Отдельная страница задачи
2. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус вписанной в квадрат окружности равен $24\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 96

   Сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности: $a = 2 \cdot 24\sqrt{2}$. Диагональ $a\sqrt{2} = 2 \cdot 24\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 96$.

   Отдельная страница задачи
3. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$. Угол $ACB$ равен $59^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 62

   Центральный угол $AOB$ вдвое больше вписанного $ACB$, опирающегося на ту же дугу: $\angle AOB = 118^\circ$. Углы $AOB$ и $AOD$ смежные: $\angle AOD = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ$.

   Отдельная страница задачи
4. Вписанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $68^\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 112

   Углы $A$ и $B$ прилежат к боковой стороне трапеции, их сумма $180^\circ$: $\angle B = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ$.

   Отдельная страница задачи
5. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 12. Найдите высоту этой трапеции.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 24

   Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: $2 \cdot 12 = 24$.

   Отдельная страница задачи
6. Описанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   В треугольнике $ABC$ известно, что $AC=8$, $BC=15$, угол $C$ равен $90^\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 8,5

   Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности: $AB = \sqrt{8^2 + 15^2} = 17$, $R = 17 : 2 = 8{,}5$.

   Отдельная страница задачи
7. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$. Угол $ACB$ равен $79^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 22

   Центральный угол $AOB$ вдвое больше вписанного $ACB$, опирающегося на ту же дугу: $\angle AOB = 158^\circ$. Углы $AOB$ и $AOD$ смежные: $\angle AOD = 180^\circ - 158^\circ = 22^\circ$.

   Отдельная страница задачи
8. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $92^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 44

   Углы $AOD$ и $AOB$ смежные: $\angle AOB = 180^\circ - 92^\circ = 88^\circ$. Вписанный угол $ACB$ опирается на ту же дугу $AB$, что и центральный $AOB$, и вдвое меньше: $44^\circ$.

   Отдельная страница задачи
9. Описанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $30^\circ$, $AB=16$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 16

   По теореме синусов $\frac{AB}{\sin C} = 2R$, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$:

   $$R = \frac{AB}{2\sin C} = \frac{16}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 16.$$

   Отдельная страница задачи
10. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

    Периметр треугольника равен 120, одна из сторон равна 40, а радиус вписанной в него окружности равен 7. Найдите площадь этого треугольника.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 420

    Площадь равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности: $S = \frac{120}{2} \cdot 7 = 420$. Длина стороны для ответа не нужна.

    Отдельная страница задачи