Задание 16 ОГЭ: окружность

Вписанные и центральные углы, касательные, вписанные и описанные фигуры. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 313 задач с ответами и решениями, на этой странице 181–190.

1. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что $\angle NBA=34^\circ$. Найдите угол $NMB$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 56

   Угол $ANB$ опирается на диаметр и равен $90^\circ$, поэтому $\angle NAB = 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ$. Углы $NMB$ и $NAB$ опираются на одну дугу $NB$, значит, $\angle NMB = 56^\circ$.

   Отдельная страница задачи
2. Вписанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $31^\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 149

   Углы $A$ и $B$ прилежат к боковой стороне трапеции, их сумма $180^\circ$: $\angle B = 180^\circ - 31^\circ = 149^\circ$.

   Отдельная страница задачи
3. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус вписанной в квадрат окружности равен $2\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 8

   Сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности: $a = 2 \cdot 2\sqrt{2}$. Диагональ $a\sqrt{2} = 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 8$.

   Отдельная страница задачи
4. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Сторона равностороннего треугольника равна $12\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 12

   Для равностороннего треугольника $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$: $\frac{12\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{36}{3} = 12$.

   Отдельная страница задачи
5. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Сторона квадрата равна $18\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 18

   Радиус описанной окружности равен половине диагонали: диагональ $18\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 36$, радиус $18$.

   Отдельная страница задачи
6. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $AOB$ равен $73^\circ$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 36,5

   Вписанный угол $ACB$ и центральный угол $AOB$ опираются на одну дугу, вписанный вдвое меньше: $73^\circ : 2 = 36{,}5^\circ$.

   Отдельная страница задачи
7. Описанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $60^\circ$, $AB=10\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 10

   По теореме синусов $\frac{AB}{\sin C} = 2R$, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

   $$R = \frac{AB}{2\sin C} = \frac{10\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = 10.$$

   Отдельная страница задачи
8. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен 17. Найдите $AC$, если $BC=30$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 16

   $AB$ диаметр, $AB = 2 \cdot 17 = 34$, и угол $C$ прямой. По теореме Пифагора $AC = \sqrt{34^2 - 30^2} = \sqrt{256} = 16$.

   Отдельная страница задачи
9. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Периметр треугольника равен 140, одна из сторон равна 56, а радиус вписанной в него окружности равен 9. Найдите площадь этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 630

   Площадь равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности: $S = \frac{140}{2} \cdot 9 = 630$. Длина стороны для ответа не нужна.

   Отдельная страница задачи
10. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

    Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 36. Найдите высоту этой трапеции.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 72

    Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: $2 \cdot 36 = 72$.

    Отдельная страница задачи