Задание 16 ОГЭ: окружность

Вписанные и центральные углы, касательные, вписанные и описанные фигуры. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 313 задач с ответами и решениями, на этой странице 221–230.

1. Описанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ описана около окружности, $AB=14$, $BC=13$, $CD=22$. Найдите $AD$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 23

   В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$. Отсюда $AD = 14 + 22 - 13 = 23$.

   Отдельная страница задачи
2. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Сторона квадрата равна 16. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 8

   Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата: $r = 16 : 2 = 8$.

   Отдельная страница задачи
3. Вписанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $36^\circ$. Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 144

   Четырёхугольник вписан, сумма противоположных углов $A$ и $C$ равна $180^\circ$: $\angle C = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$.

   Отдельная страница задачи
4. Вписанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $111^\circ$. Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 69

   Четырёхугольник вписан, сумма противоположных углов $A$ и $C$ равна $180^\circ$: $\angle C = 180^\circ - 111^\circ = 69^\circ$.

   Отдельная страница задачи
5. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $138^\circ$, угол $CAD$ равен $83^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 55

   Углы $DBC$ и $DAC$ опираются на одну дугу $DC$, поэтому $\angle DBC = 83^\circ$. Тогда $\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC = 138^\circ - 83^\circ = 55^\circ$.

   Отдельная страница задачи
6. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен 10. Найдите $BC$, если $AC=16$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 12

   $AB$ диаметр, $AB = 2 \cdot 10 = 20$, и угол $C$ прямой. По теореме Пифагора $BC = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{144} = 12$.

   Отдельная страница задачи
7. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен 14,5. Найдите $AC$, если $BC=21$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 20

   $AB$ диаметр, $AB = 2 \cdot 14{,}5 = 29$, и угол $C$ прямой. По теореме Пифагора $AC = \sqrt{29^2 - 21^2} = \sqrt{400} = 20$.

   Отдельная страница задачи
8. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $77^\circ$, угол $CAD$ равен $43^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 120

   Углы $DBC$ и $DAC$ опираются на одну дугу $DC$, поэтому $\angle DBC = 43^\circ$. Тогда $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 77^\circ + 43^\circ = 120^\circ$.

   Отдельная страница задачи
9. Описанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB=5$, $BC=9$, $CD=16$. Найдите $AD$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 12

   В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$. Отсюда $AD = 5 + 16 - 9 = 12$.

   Отдельная страница задачи
10. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

    Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $56^\circ$, угол $CAD$ равен $42^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 14

    Углы $DBC$ и $DAC$ опираются на одну дугу $DC$, поэтому $\angle DBC = 42^\circ$. Тогда $\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC = 56^\circ - 42^\circ = 14^\circ$.

    Отдельная страница задачи