Задание 16 ОГЭ: окружность

Вписанные и центральные углы, касательные, вписанные и описанные фигуры. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 313 задач с ответами и решениями, на этой странице 171–180.

1. Вписанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $79^\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 101

   Углы $A$ и $B$ прилежат к боковой стороне трапеции, их сумма $180^\circ$: $\angle B = 180^\circ - 79^\circ = 101^\circ$.

   Отдельная страница задачи
2. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Найдите угол $ABC$, если угол $BAC$ равен $53^\circ$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 37

   Центр на стороне $AB$, значит, $AB$ диаметр и угол $C$, опирающийся на него, прямой. Тогда $\angle ABC = 90^\circ - 53^\circ = 37^\circ$.

   Отдельная страница задачи
3. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $4\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 24

   Для равностороннего треугольника $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$, откуда $a = 2\sqrt{3}\,r = 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 24$.

   Отдельная страница задачи
4. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус вписанной в квадрат окружности равен $16\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 64

   Сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности: $a = 2 \cdot 16\sqrt{2}$. Диагональ $a\sqrt{2} = 2 \cdot 16\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 64$.

   Отдельная страница задачи
5. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$. Угол $ACB$ равен $53^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 74

   Центральный угол $AOB$ вдвое больше вписанного $ACB$, опирающегося на ту же дугу: $\angle AOB = 106^\circ$. Углы $AOB$ и $AOD$ смежные: $\angle AOD = 180^\circ - 106^\circ = 74^\circ$.

   Отдельная страница задачи
6. Описанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ описана около окружности, $AB=10$, $BC=6$, $CD=12$. Найдите $AD$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 16

   В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$. Отсюда $AD = 10 + 12 - 6 = 16$.

   Отдельная страница задачи
7. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $AOB$ равен $59^\circ$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 29,5

   Вписанный угол $ACB$ и центральный угол $AOB$ опираются на одну дугу, вписанный вдвое меньше: $59^\circ : 2 = 29{,}5^\circ$.

   Отдельная страница задачи
8. Описанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   В треугольнике $ABC$ известно, что $AC=30$, $BC=16$, угол $C$ равен $90^\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 17

   Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности: $AB = \sqrt{30^2 + 16^2} = 34$, $R = 34 : 2 = 17$.

   Отдельная страница задачи
9. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 34. Найдите высоту этой трапеции.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 68

   Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: $2 \cdot 34 = 68$.

   Отдельная страница задачи
10. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

    На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что $\angle NBA=69^\circ$. Найдите угол $NMB$. Ответ дайте в градусах.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 21

    Угол $ANB$ опирается на диаметр и равен $90^\circ$, поэтому $\angle NAB = 90^\circ - 69^\circ = 21^\circ$. Углы $NMB$ и $NAB$ опираются на одну дугу $NB$, значит, $\angle NMB = 21^\circ$.

    Отдельная страница задачи