Задание 16 ОГЭ: окружность

Вписанные и центральные углы, касательные, вписанные и описанные фигуры. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 313 задач с ответами и решениями, на этой странице 91–100.

1. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 26. Найдите высоту этой трапеции.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 52

   Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: $2 \cdot 26 = 52$.

   Отдельная страница задачи
2. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $2\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 12

   Для равностороннего треугольника $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$, откуда $a = 2\sqrt{3}\,r = 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 12$.

   Отдельная страница задачи
3. Описанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $60^\circ$, $AB=12\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 12

   По теореме синусов $\frac{AB}{\sin C} = 2R$, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

   $$R = \frac{AB}{2\sin C} = \frac{12\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = 12.$$

   Отдельная страница задачи
4. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Найдите угол $ABC$, если угол $BAC$ равен $24^\circ$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 66

   Центр на стороне $AB$, значит, $AB$ диаметр и угол $C$, опирающийся на него, прямой. Тогда $\angle ABC = 90^\circ - 24^\circ = 66^\circ$.

   Отдельная страница задачи
5. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $2\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 6

   Для равностороннего треугольника $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$, откуда $a = R\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6$.

   Отдельная страница задачи
6. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Сторона квадрата равна 34. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 17

   Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата: $r = 34 : 2 = 17$.

   Отдельная страница задачи
7. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $132^\circ$, угол $CAD$ равен $80^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 52

   Углы $DBC$ и $DAC$ опираются на одну дугу $DC$, поэтому $\angle DBC = 80^\circ$. Тогда $\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC = 132^\circ - 80^\circ = 52^\circ$.

   Отдельная страница задачи
8. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Периметр треугольника равен 48, одна из сторон равна 18, а радиус вписанной в него окружности равен 3. Найдите площадь этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 72

   Площадь равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности: $S = \frac{48}{2} \cdot 3 = 72$. Длина стороны для ответа не нужна.

   Отдельная страница задачи
9. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Сторона равностороннего треугольника равна $8\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 4

   Для равностороннего треугольника $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$: $\frac{8\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{24}{6} = 4$.

   Отдельная страница задачи
10. Вписанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

    Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $46^\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 134

    Углы $A$ и $B$ прилежат к боковой стороне трапеции, их сумма $180^\circ$: $\angle B = 180^\circ - 46^\circ = 134^\circ$.

    Отдельная страница задачи