Задание 16 ОГЭ: окружность

Вписанные и центральные углы, касательные, вписанные и описанные фигуры. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 313 задач с ответами и решениями, на этой странице 31–40.

1. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен 8,5. Найдите $BC$, если $AC=8$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 15

   $AB$ диаметр, $AB = 2 \cdot 8{,}5 = 17$, и угол $C$ прямой. По теореме Пифагора $BC = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{225} = 15$.

   Отдельная страница задачи
2. Описанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB=6$, $BC=8$, $CD=11$. Найдите $AD$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 9

   В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$. Отсюда $AD = 6 + 11 - 8 = 9$.

   Отдельная страница задачи
3. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $18\sqrt{2}$. Найдите длину стороны этого квадрата.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 36

   Диагональ квадрата равна диаметру: $d = 2 \cdot 18\sqrt{2}$, сторона $a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot 18\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 36$.

   Отдельная страница задачи
4. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $80^\circ$, угол $CAD$ равен $34^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 114

   Углы $DBC$ и $DAC$ опираются на одну дугу $DC$, поэтому $\angle DBC = 34^\circ$. Тогда $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 80^\circ + 34^\circ = 114^\circ$.

   Отдельная страница задачи
5. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Периметр треугольника равен 60, одна из сторон равна 12, а радиус вписанной в него окружности равен 3. Найдите площадь этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 90

   Площадь равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности: $S = \frac{60}{2} \cdot 3 = 90$. Длина стороны для ответа не нужна.

   Отдельная страница задачи
6. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус вписанной в квадрат окружности равен $14\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 56

   Сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности: $a = 2 \cdot 14\sqrt{2}$. Диагональ $a\sqrt{2} = 2 \cdot 14\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 56$.

   Отдельная страница задачи
7. Описанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ описана около окружности, $AB=11$, $BC=6$, $CD=9$. Найдите $AD$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 14

   В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$. Отсюда $AD = 11 + 9 - 6 = 14$.

   Отдельная страница задачи
8. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $5\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 15

   Для равностороннего треугольника $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$, откуда $a = R\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 15$.

   Отдельная страница задачи
9. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Сторона квадрата равна 46. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 23

   Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата: $r = 46 : 2 = 23$.

   Отдельная страница задачи
10. Вписанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

    Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $35^\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 145

    Углы $A$ и $B$ прилежат к боковой стороне трапеции, их сумма $180^\circ$: $\angle B = 180^\circ - 35^\circ = 145^\circ$.

    Отдельная страница задачи