Задание 16 ОГЭ: окружность

Вписанные и центральные углы, касательные, вписанные и описанные фигуры. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 313 задач с ответами и решениями, на этой странице 301–310.

1. Фигуры на клеткахОткрытый банк ФИПИ

   На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 4,5

   Площади кругов относятся как квадраты радиусов. По клеткам радиус большего круга $3$, меньшего $\sqrt{2}$ (радиус по диагонали клеток находим по теореме Пифагора).

   $$\frac{S_1}{S_2} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{9}{2} = 4{,}5.$$

   Отдельная страница задачи
2. Фигуры на клеткахОткрытый банк ФИПИ

   На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 3,2

   Площади кругов относятся как квадраты радиусов. По клеткам радиус большего круга $4$, меньшего $\sqrt{5}$ (радиус по диагонали клеток находим по теореме Пифагора).

   $$\frac{S_1}{S_2} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{16}{5} = 3{,}2.$$

   Отдельная страница задачи
3. Фигуры на клеткахОткрытый банк ФИПИ

   На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 4

   Площади кругов относятся как квадраты радиусов. По клеткам радиус большего круга $2$, меньшего $1$.

   $$\frac{S_1}{S_2} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{4}{1} = 4.$$

   Отдельная страница задачи
4. Прямоугольник и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,28. Диаметр описанной около него окружности равен 25. Найдите площадь прямоугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 168

   Диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности, $25$. Стороны: $25 \cdot 0{,}28 = 7$ и $25 \cdot 0{,}96 = 24$ (косинус $\sqrt{1 - 0{,}28^2} = 0{,}96$).

   Площадь $7 \cdot 24 = 168$.

   Отдельная страница задачи
5. Прямоугольник и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,6. Диаметр описанной около него окружности равен 5. Найдите площадь прямоугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 12

   Диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности, $5$. Стороны: $5 \cdot 0{,}6 = 3$ и $5 \cdot 0{,}8 = 4$ (косинус $\sqrt{1 - 0{,}6^2} = 0{,}8$).

   Площадь $3 \cdot 4 = 12$.

   Отдельная страница задачи
6. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}$. Найдите площадь квадрата $ABCD$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 1

   Пусть сторона квадрата $a$. В прямоугольном треугольнике $ADO$ катеты $AD = a$ и $DO = \frac{a}{2}$, гипотенуза $OA$ равна радиусу: $a^2 + \frac{a^2}{4} = R^2$, то есть $\frac{5}{4}a^2 = 1{,}25$.

   Площадь квадрата $a^2 = \frac{4}{5} \cdot 1{,}25 = 1$.

   Отдельная страница задачи
7. Прямоугольник и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,96. Диаметр описанной около него окружности равен 25. Найдите площадь прямоугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 168

   Диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности, $25$. Стороны: $25 \cdot 0{,}96 = 24$ и $25 \cdot 0{,}28 = 7$ (косинус $\sqrt{1 - 0{,}96^2} = 0{,}28$).

   Площадь $24 \cdot 7 = 168$.

   Отдельная страница задачи
8. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $\sqrt{10}$. Найдите площадь квадрата $ABCD$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 8

   Пусть сторона квадрата $a$. В прямоугольном треугольнике $ADO$ катеты $AD = a$ и $DO = \frac{a}{2}$, гипотенуза $OA$ равна радиусу: $a^2 + \frac{a^2}{4} = R^2$, то есть $\frac{5}{4}a^2 = 10$.

   Площадь квадрата $a^2 = \frac{4}{5} \cdot 10 = 8$.

   Отдельная страница задачи
9. Фигуры на клеткахОткрытый банк ФИПИ

   На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 4

   Площади кругов относятся как квадраты радиусов. По клеткам радиус большего круга $4$, меньшего $2$.

   $$\frac{S_1}{S_2} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{16}{4} = 4.$$

   Отдельная страница задачи
10. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

    Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен $\sqrt{5}$. Найдите площадь квадрата $ABCD$.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 4

    Пусть сторона квадрата $a$. В прямоугольном треугольнике $ADO$ катеты $AD = a$ и $DO = \frac{a}{2}$, гипотенуза $OA$ равна радиусу: $a^2 + \frac{a^2}{4} = R^2$, то есть $\frac{5}{4}a^2 = 5$.

    Площадь квадрата $a^2 = \frac{4}{5} \cdot 5 = 4$.

    Отдельная страница задачи