Задание 16 ОГЭ: окружность

Вписанные и центральные углы, касательные, вписанные и описанные фигуры. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 313 задач с ответами и решениями, на этой странице 51–60.

1. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Периметр треугольника равен 50, одна из сторон равна 20, а радиус вписанной в него окружности равен 4. Найдите площадь этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 100

   Площадь равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности: $S = \frac{50}{2} \cdot 4 = 100$. Длина стороны для ответа не нужна.

   Отдельная страница задачи
2. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 28. Найдите высоту этой трапеции.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 56

   Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: $2 \cdot 28 = 56$.

   Отдельная страница задачи
3. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 32.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 4096

   Сторона квадрата равна диаметру окружности: $a = 2 \cdot 32 = 64$, площадь $64^2 = 4096$.

   Отдельная страница задачи
4. Вписанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Угол $A$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равен $37^\circ$. Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 143

   У вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов $180^\circ$: $\angle C = 180^\circ - 37^\circ = 143^\circ$.

   Отдельная страница задачи
5. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $11\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 66

   Для равностороннего треугольника $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$, откуда $a = 2\sqrt{3}\,r = 2 \cdot 11\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 66$.

   Отдельная страница задачи
6. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 38. Найдите высоту этой трапеции.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 76

   Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: $2 \cdot 38 = 76$.

   Отдельная страница задачи
7. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $34\sqrt{2}$. Найдите длину стороны этого квадрата.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 68

   Диагональ квадрата равна диаметру: $d = 2 \cdot 34\sqrt{2}$, сторона $a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot 34\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 68$.

   Отдельная страница задачи
8. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 44. Найдите высоту этой трапеции.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 88

   Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: $2 \cdot 44 = 88$.

   Отдельная страница задачи
9. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$. Угол $ACB$ равен $23^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 134

   Центральный угол $AOB$ вдвое больше вписанного $ACB$, опирающегося на ту же дугу: $\angle AOB = 46^\circ$. Углы $AOB$ и $AOD$ смежные: $\angle AOD = 180^\circ - 46^\circ = 134^\circ$.

   Отдельная страница задачи
10. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

    Сторона равностороннего треугольника равна $20\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 20

    Для равностороннего треугольника $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$: $\frac{20\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{60}{3} = 20$.

    Отдельная страница задачи