Задание 16 ОГЭ: окружность

Вписанные и центральные углы, касательные, вписанные и описанные фигуры. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 313 задач с ответами и решениями, на этой странице 281–290.

1. Фигуры на клеткахОткрытый банк ФИПИ

   На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 1,8

   Площади кругов относятся как квадраты радиусов. По клеткам радиус большего круга $3$, меньшего $\sqrt{5}$ (радиус по диагонали клеток находим по теореме Пифагора).

   $$\frac{S_1}{S_2} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{9}{5} = 1{,}8.$$

   Отдельная страница задачи
2. Прямоугольник и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,8. Диаметр описанной около него окружности равен 5. Найдите площадь прямоугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 12

   Диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности, $5$. Стороны: $5 \cdot 0{,}8 = 4$ и $5 \cdot 0{,}6 = 3$ (косинус $\sqrt{1 - 0{,}8^2} = 0{,}6$).

   Площадь $4 \cdot 3 = 12$.

   Отдельная страница задачи
3. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен 2. Найдите площадь квадрата $ABCD$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 3,2

   Пусть сторона квадрата $a$. В прямоугольном треугольнике $ADO$ катеты $AD = a$ и $DO = \frac{a}{2}$, гипотенуза $OA$ равна радиусу: $a^2 + \frac{a^2}{4} = R^2$, то есть $\frac{5}{4}a^2 = 4$.

   Площадь квадрата $a^2 = \frac{4}{5} \cdot 4 = 3{,}2$.

   Отдельная страница задачи
4. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен 3. Найдите площадь квадрата $ABCD$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 7,2

   Пусть сторона квадрата $a$. В прямоугольном треугольнике $ADO$ катеты $AD = a$ и $DO = \frac{a}{2}$, гипотенуза $OA$ равна радиусу: $a^2 + \frac{a^2}{4} = R^2$, то есть $\frac{5}{4}a^2 = 9$.

   Площадь квадрата $a^2 = \frac{4}{5} \cdot 9 = 7{,}2$.

   Отдельная страница задачи
5. Фигуры на клеткахОткрытый банк ФИПИ

   На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 16

   Площади кругов относятся как квадраты радиусов. По клеткам радиус большего круга $4$, меньшего $1$.

   $$\frac{S_1}{S_2} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{16}{1} = 16.$$

   Отдельная страница задачи
6. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен 1,5. Найдите площадь квадрата $ABCD$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 1,8

   Пусть сторона квадрата $a$. В прямоугольном треугольнике $ADO$ катеты $AD = a$ и $DO = \frac{a}{2}$, гипотенуза $OA$ равна радиусу: $a^2 + \frac{a^2}{4} = R^2$, то есть $\frac{5}{4}a^2 = 2{,}25$.

   Площадь квадрата $a^2 = \frac{4}{5} \cdot 2{,}25 = 1{,}8$.

   Отдельная страница задачи
7. Фигуры на клеткахОткрытый банк ФИПИ

   На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 2,5

   Площади кругов относятся как квадраты радиусов. По клеткам радиус большего круга $\sqrt{10}$, меньшего $2$ (радиус по диагонали клеток находим по теореме Пифагора).

   $$\frac{S_1}{S_2} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{10}{4} = 2{,}5.$$

   Отдельная страница задачи
8. Прямоугольник и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,8. Диаметр описанной около него окружности равен 10. Найдите площадь прямоугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 48

   Диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности, $10$. Стороны: $10 \cdot 0{,}8 = 8$ и $10 \cdot 0{,}6 = 6$ (косинус $\sqrt{1 - 0{,}8^2} = 0{,}6$).

   Площадь $8 \cdot 6 = 48$.

   Отдельная страница задачи
9. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$. Радиус окружности с центром в точке $O$, проходящей через вершину $A$, равен 2,5. Найдите площадь квадрата $ABCD$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 5

   Пусть сторона квадрата $a$. В прямоугольном треугольнике $ADO$ катеты $AD = a$ и $DO = \frac{a}{2}$, гипотенуза $OA$ равна радиусу: $a^2 + \frac{a^2}{4} = R^2$, то есть $\frac{5}{4}a^2 = 6{,}25$.

   Площадь квадрата $a^2 = \frac{4}{5} \cdot 6{,}25 = 5$.

   Отдельная страница задачи
10. Фигуры на клеткахОткрытый банк ФИПИ

    На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 2

    Площади кругов относятся как квадраты радиусов. По клеткам радиус большего круга $2$, меньшего $\sqrt{2}$ (радиус по диагонали клеток находим по теореме Пифагора).

    $$\frac{S_1}{S_2} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{4}{2} = 2.$$

    Отдельная страница задачи