Задание 16 ОГЭ: окружность

Вписанные и центральные углы, касательные, вписанные и описанные фигуры. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 313 задач с ответами и решениями, на этой странице 211–220.

1. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что $\angle NBA=32^\circ$. Найдите угол $NMB$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 58

   Угол $ANB$ опирается на диаметр и равен $90^\circ$, поэтому $\angle NAB = 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ$. Углы $NMB$ и $NAB$ опираются на одну дугу $NB$, значит, $\angle NMB = 58^\circ$.

   Отдельная страница задачи
2. Описанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB=10$, $BC=14$, $CD=22$. Найдите $AD$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 18

   В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$. Отсюда $AD = 10 + 22 - 14 = 18$.

   Отдельная страница задачи
3. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 48. Найдите высоту этой трапеции.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 96

   Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: $2 \cdot 48 = 96$.

   Отдельная страница задачи
4. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 32. Найдите высоту этой трапеции.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 64

   Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: $2 \cdot 32 = 64$.

   Отдельная страница задачи
5. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 18. Найдите высоту этой трапеции.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 36

   Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: $2 \cdot 18 = 36$.

   Отдельная страница задачи
6. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $88^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 46

   Углы $AOD$ и $AOB$ смежные: $\angle AOB = 180^\circ - 88^\circ = 92^\circ$. Вписанный угол $ACB$ опирается на ту же дугу $AB$, что и центральный $AOB$, и вдвое меньше: $46^\circ$.

   Отдельная страница задачи
7. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Сторона равностороннего треугольника равна $10\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 10

   Для равностороннего треугольника $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$: $\frac{10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{30}{3} = 10$.

   Отдельная страница задачи
8. Описанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ описана около окружности, $AB=12$, $BC=4$, $CD=8$. Найдите $AD$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 16

   В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$. Отсюда $AD = 12 + 8 - 4 = 16$.

   Отдельная страница задачи
9. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$. Угол $ACB$ равен $62^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 56

   Центральный угол $AOB$ вдвое больше вписанного $ACB$, опирающегося на ту же дугу: $\angle AOB = 124^\circ$. Углы $AOB$ и $AOD$ смежные: $\angle AOD = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$.

   Отдельная страница задачи
10. Описанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

    Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ описана около окружности, $AB=14$, $BC=8$, $CD=12$. Найдите $AD$.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 18

    В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$. Отсюда $AD = 14 + 12 - 8 = 18$.

    Отдельная страница задачи