Задание 16 ОГЭ: окружность

Вписанные и центральные углы, касательные, вписанные и описанные фигуры. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 313 задач с ответами и решениями, на этой странице 111–120.

1. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Сторона равностороннего треугольника равна $14\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 7

   Для равностороннего треугольника $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$: $\frac{14\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{42}{6} = 7$.

   Отдельная страница задачи
2. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $7\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 42

   Для равностороннего треугольника $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$, откуда $a = 2\sqrt{3}\,r = 2 \cdot 7\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 42$.

   Отдельная страница задачи
3. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен 25. Найдите $AC$, если $BC=48$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 14

   $AB$ диаметр, $AB = 2 \cdot 25 = 50$, и угол $C$ прямой. По теореме Пифагора $AC = \sqrt{50^2 - 48^2} = \sqrt{196} = 14$.

   Отдельная страница задачи
4. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $22\sqrt{2}$. Найдите длину стороны этого квадрата.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 44

   Диагональ квадрата равна диаметру: $d = 2 \cdot 22\sqrt{2}$, сторона $a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot 22\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 44$.

   Отдельная страница задачи
5. Вписанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $76^\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 104

   Углы $A$ и $B$ прилежат к боковой стороне трапеции, их сумма $180^\circ$: $\angle B = 180^\circ - 76^\circ = 104^\circ$.

   Отдельная страница задачи
6. Вписанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $54^\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 126

   Углы $A$ и $B$ прилежат к боковой стороне трапеции, их сумма $180^\circ$: $\angle B = 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ$.

   Отдельная страница задачи
7. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен 20. Найдите $BC$, если $AC=32$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 24

   $AB$ диаметр, $AB = 2 \cdot 20 = 40$, и угол $C$ прямой. По теореме Пифагора $BC = \sqrt{40^2 - 32^2} = \sqrt{576} = 24$.

   Отдельная страница задачи
8. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 12. Найдите высоту этой трапеции.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 24

   Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: $2 \cdot 12 = 24$.

   Отдельная страница задачи
9. Вписанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $32^\circ$. Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 148

   Четырёхугольник вписан, сумма противоположных углов $A$ и $C$ равна $180^\circ$: $\angle C = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ$.

   Отдельная страница задачи
10. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

    В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $124^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 28

    Углы $AOD$ и $AOB$ смежные: $\angle AOB = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$. Вписанный угол $ACB$ опирается на ту же дугу $AB$, что и центральный $AOB$, и вдвое меньше: $28^\circ$.

    Отдельная страница задачи