Задание 16 ОГЭ: окружность

Вписанные и центральные углы, касательные, вписанные и описанные фигуры. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 313 задач с ответами и решениями, на этой странице 41–50.

1. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $148^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 16

   Углы $AOD$ и $AOB$ смежные: $\angle AOB = 180^\circ - 148^\circ = 32^\circ$. Вписанный угол $ACB$ опирается на ту же дугу $AB$, что и центральный $AOB$, и вдвое меньше: $16^\circ$.

   Отдельная страница задачи
2. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $54^\circ$, угол $CAD$ равен $41^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 13

   Углы $DBC$ и $DAC$ опираются на одну дугу $DC$, поэтому $\angle DBC = 41^\circ$. Тогда $\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC = 54^\circ - 41^\circ = 13^\circ$.

   Отдельная страница задачи
3. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $38^\circ$, угол $CAD$ равен $33^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 5

   Углы $DBC$ и $DAC$ опираются на одну дугу $DC$, поэтому $\angle DBC = 33^\circ$. Тогда $\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC = 38^\circ - 33^\circ = 5^\circ$.

   Отдельная страница задачи
4. Описанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   В треугольнике $ABC$ известно, что $AC=16$, $BC=12$, угол $C$ равен $90^\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 10

   Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности: $AB = \sqrt{16^2 + 12^2} = 20$, $R = 20 : 2 = 10$.

   Отдельная страница задачи
5. Описанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB=12$, $BC=6$, $CD=13$. Найдите $AD$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 19

   В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$. Отсюда $AD = 12 + 13 - 6 = 19$.

   Отдельная страница задачи
6. Описанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB=11$, $BC=7$, $CD=12$. Найдите $AD$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 16

   В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$. Отсюда $AD = 11 + 12 - 7 = 16$.

   Отдельная страница задачи
7. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $8\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 24

   Для равностороннего треугольника $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$, откуда $a = R\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 24$.

   Отдельная страница задачи
8. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $7\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 21

   Для равностороннего треугольника $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$, откуда $a = R\sqrt{3} = 7\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 21$.

   Отдельная страница задачи
9. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $AOB$ равен $153^\circ$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 76,5

   Вписанный угол $ACB$ и центральный угол $AOB$ опираются на одну дугу, вписанный вдвое меньше: $153^\circ : 2 = 76{,}5^\circ$.

   Отдельная страница задачи
10. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

    Периметр треугольника равен 71, одна из сторон равна 21, а радиус вписанной в него окружности равен 6. Найдите площадь этого треугольника.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 213

    Площадь равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности: $S = \frac{71}{2} \cdot 6 = 213$. Длина стороны для ответа не нужна.

    Отдельная страница задачи