Задание 16 ОГЭ: окружность

Вписанные и центральные углы, касательные, вписанные и описанные фигуры. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 313 задач с ответами и решениями, на этой странице 1–10.

1. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $8\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 48

   Для равностороннего треугольника $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$, откуда $a = 2\sqrt{3}\,r = 2 \cdot 8\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 48$.

   Отдельная страница задачи
2. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Найдите угол $ABC$, если угол $BAC$ равен $30^\circ$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 60

   Центр на стороне $AB$, значит, $AB$ диаметр и угол $C$, опирающийся на него, прямой. Тогда $\angle ABC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

   Отдельная страница задачи
3. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Сторона равностороннего треугольника равна $8\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 8

   Для равностороннего треугольника $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$: $\frac{8\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{24}{3} = 8$.

   Отдельная страница задачи
4. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $92^\circ$, угол $CAD$ равен $60^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 32

   Углы $DBC$ и $DAC$ опираются на одну дугу $DC$, поэтому $\angle DBC = 60^\circ$. Тогда $\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC = 92^\circ - 60^\circ = 32^\circ$.

   Отдельная страница задачи
5. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Сторона равностороннего треугольника равна $20\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 10

   Для равностороннего треугольника $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$: $\frac{20\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{60}{6} = 10$.

   Отдельная страница задачи
6. Вписанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $59^\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 121

   Углы $A$ и $B$ прилежат к боковой стороне трапеции, их сумма $180^\circ$: $\angle B = 180^\circ - 59^\circ = 121^\circ$.

   Отдельная страница задачи
7. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Сторона равностороннего треугольника равна $18\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 18

   Для равностороннего треугольника $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$: $\frac{18\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{54}{3} = 18$.

   Отдельная страница задачи
8. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Сторона квадрата равна $8\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 8

   Радиус описанной окружности равен половине диагонали: диагональ $8\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 16$, радиус $8$.

   Отдельная страница задачи
9. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Найдите угол $ABC$, если угол $BAC$ равен $44^\circ$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 46

   Центр на стороне $AB$, значит, $AB$ диаметр и угол $C$, опирающийся на него, прямой. Тогда $\angle ABC = 90^\circ - 44^\circ = 46^\circ$.

   Отдельная страница задачи
10. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

    Сторона квадрата равна $32\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 32

    Радиус описанной окружности равен половине диагонали: диагональ $32\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 64$, радиус $32$.

    Отдельная страница задачи