Задание 16 ОГЭ: окружность

Вписанные и центральные углы, касательные, вписанные и описанные фигуры. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 313 задач с ответами и решениями, на этой странице 191–200.

1. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что $\angle NBA=68^\circ$. Найдите угол $NMB$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 22

   Угол $ANB$ опирается на диаметр и равен $90^\circ$, поэтому $\angle NAB = 90^\circ - 68^\circ = 22^\circ$. Углы $NMB$ и $NAB$ опираются на одну дугу $NB$, значит, $\angle NMB = 22^\circ$.

   Отдельная страница задачи
2. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что $\angle NBA=71^\circ$. Найдите угол $NMB$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 19

   Угол $ANB$ опирается на диаметр и равен $90^\circ$, поэтому $\angle NAB = 90^\circ - 71^\circ = 19^\circ$. Углы $NMB$ и $NAB$ опираются на одну дугу $NB$, значит, $\angle NMB = 19^\circ$.

   Отдельная страница задачи
3. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 18.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 1296

   Сторона квадрата равна диаметру окружности: $a = 2 \cdot 18 = 36$, площадь $36^2 = 1296$.

   Отдельная страница задачи
4. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $6\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 18

   Для равностороннего треугольника $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$, откуда $a = R\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 18$.

   Отдельная страница задачи
5. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что $\angle NBA=41^\circ$. Найдите угол $NMB$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 49

   Угол $ANB$ опирается на диаметр и равен $90^\circ$, поэтому $\angle NAB = 90^\circ - 41^\circ = 49^\circ$. Углы $NMB$ и $NAB$ опираются на одну дугу $NB$, значит, $\angle NMB = 49^\circ$.

   Отдельная страница задачи
6. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 42. Найдите высоту этой трапеции.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 84

   Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: $2 \cdot 42 = 84$.

   Отдельная страница задачи
7. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Сторона равностороннего треугольника равна $6\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 3

   Для равностороннего треугольника $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$: $\frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

   Отдельная страница задачи
8. Вписанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Угол $A$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равен $56^\circ$. Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 124

   У вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов $180^\circ$: $\angle C = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ$.

   Отдельная страница задачи
9. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Сторона равностороннего треугольника равна $18\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 9

   Для равностороннего треугольника $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$: $\frac{18\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{54}{6} = 9$.

   Отдельная страница задачи
10. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

    Сторона квадрата равна $38\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 38

    Радиус описанной окружности равен половине диагонали: диагональ $38\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 76$, радиус $38$.

    Отдельная страница задачи