Задание 16 ОГЭ: окружность

Вписанные и центральные углы, касательные, вписанные и описанные фигуры. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 313 задач с ответами и решениями, на этой странице 201–210.

1. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 16. Найдите высоту этой трапеции.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 32

   Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: $2 \cdot 16 = 32$.

   Отдельная страница задачи
2. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Сторона квадрата равна 24. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 12

   Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата: $r = 24 : 2 = 12$.

   Отдельная страница задачи
3. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Периметр треугольника равен 110, одна из сторон равна 38, а радиус вписанной в него окружности равен 10. Найдите площадь этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 550

   Площадь равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности: $S = \frac{110}{2} \cdot 10 = 550$. Длина стороны для ответа не нужна.

   Отдельная страница задачи
4. Вписанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $61^\circ$. Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 119

   Четырёхугольник вписан, сумма противоположных углов $A$ и $C$ равна $180^\circ$: $\angle C = 180^\circ - 61^\circ = 119^\circ$.

   Отдельная страница задачи
5. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус вписанной в квадрат окружности равен $4\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 16

   Сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности: $a = 2 \cdot 4\sqrt{2}$. Диагональ $a\sqrt{2} = 2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 16$.

   Отдельная страница задачи
6. Описанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB=9$, $BC=13$, $CD=18$. Найдите $AD$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 14

   В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$. Отсюда $AD = 9 + 18 - 13 = 14$.

   Отдельная страница задачи
7. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $AOB$ равен $173^\circ$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 86,5

   Вписанный угол $ACB$ и центральный угол $AOB$ опираются на одну дугу, вписанный вдвое меньше: $173^\circ : 2 = 86{,}5^\circ$.

   Отдельная страница задачи
8. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $44^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 68

   Углы $AOD$ и $AOB$ смежные: $\angle AOB = 180^\circ - 44^\circ = 136^\circ$. Вписанный угол $ACB$ опирается на ту же дугу $AB$, что и центральный $AOB$, и вдвое меньше: $68^\circ$.

   Отдельная страница задачи
9. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $38^\circ$, угол $CAD$ равен $54^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 92

   Углы $DBC$ и $DAC$ опираются на одну дугу $DC$, поэтому $\angle DBC = 54^\circ$. Тогда $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 38^\circ + 54^\circ = 92^\circ$.

   Отдельная страница задачи
10. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

    Сторона равностороннего треугольника равна $2\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 2

    Для равностороннего треугольника $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$: $\frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{6}{3} = 2$.

    Отдельная страница задачи