Задание 16 ОГЭ: окружность

Вписанные и центральные углы, касательные, вписанные и описанные фигуры. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 313 задач с ответами и решениями, на этой странице 231–240.

1. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 16.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 1024

   Сторона квадрата равна диаметру окружности: $a = 2 \cdot 16 = 32$, площадь $32^2 = 1024$.

   Отдельная страница задачи
2. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 38. Найдите высоту этой трапеции.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 76

   Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: $2 \cdot 38 = 76$.

   Отдельная страница задачи
3. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Сторона равностороннего треугольника равна $4\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 2

   Для равностороннего треугольника $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$: $\frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{12}{6} = 2$.

   Отдельная страница задачи
4. Вписанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $81^\circ$. Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 99

   Четырёхугольник вписан, сумма противоположных углов $A$ и $C$ равна $180^\circ$: $\angle C = 180^\circ - 81^\circ = 99^\circ$.

   Отдельная страница задачи
5. Описанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ описана около окружности, $AB=11$, $BC=5$, $CD=13$. Найдите $AD$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 19

   В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$. Отсюда $AD = 11 + 13 - 5 = 19$.

   Отдельная страница задачи
6. Описанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $45^\circ$, $AB=8\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 8

   По теореме синусов $\frac{AB}{\sin C} = 2R$, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

   $$R = \frac{AB}{2\sin C} = \frac{8\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = 8.$$

   Отдельная страница задачи
7. Описанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB=4$, $BC=12$, $CD=21$. Найдите $AD$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 13

   В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$. Отсюда $AD = 4 + 21 - 12 = 13$.

   Отдельная страница задачи
8. Вписанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $53^\circ$. Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 127

   Четырёхугольник вписан, сумма противоположных углов $A$ и $C$ равна $180^\circ$: $\angle C = 180^\circ - 53^\circ = 127^\circ$.

   Отдельная страница задачи
9. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 4.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 64

   Сторона квадрата равна диаметру окружности: $a = 2 \cdot 4 = 8$, площадь $8^2 = 64$.

   Отдельная страница задачи
10. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

    На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что $\angle NBA=43^\circ$. Найдите угол $NMB$. Ответ дайте в градусах.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 47

    Угол $ANB$ опирается на диаметр и равен $90^\circ$, поэтому $\angle NAB = 90^\circ - 43^\circ = 47^\circ$. Углы $NMB$ и $NAB$ опираются на одну дугу $NB$, значит, $\angle NMB = 47^\circ$.

    Отдельная страница задачи