Задание 16 ОГЭ: окружность

Вписанные и центральные углы, касательные, вписанные и описанные фигуры. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 313 задач с ответами и решениями, на этой странице 271–280.

1. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $AOB$ равен $27^\circ$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 13,5

   Вписанный угол $ACB$ и центральный угол $AOB$ опираются на одну дугу, вписанный вдвое меньше: $27^\circ : 2 = 13{,}5^\circ$.

   Отдельная страница задачи
2. Описанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ описана около окружности, $AB=18$, $BC=9$, $CD=13$. Найдите $AD$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 22

   В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$. Отсюда $AD = 18 + 13 - 9 = 22$.

   Отдельная страница задачи
3. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $AOB$ равен $167^\circ$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 83,5

   Вписанный угол $ACB$ и центральный угол $AOB$ опираются на одну дугу, вписанный вдвое меньше: $167^\circ : 2 = 83{,}5^\circ$.

   Отдельная страница задачи
4. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $AOB$ равен $47^\circ$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 23,5

   Вписанный угол $ACB$ и центральный угол $AOB$ опираются на одну дугу, вписанный вдвое меньше: $47^\circ : 2 = 23{,}5^\circ$.

   Отдельная страница задачи
5. Вписанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $47^\circ$. Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 133

   Четырёхугольник вписан, сумма противоположных углов $A$ и $C$ равна $180^\circ$: $\angle C = 180^\circ - 47^\circ = 133^\circ$.

   Отдельная страница задачи
6. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что $\angle NBA=44^\circ$. Найдите угол $NMB$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 46

   Угол $ANB$ опирается на диаметр и равен $90^\circ$, поэтому $\angle NAB = 90^\circ - 44^\circ = 46^\circ$. Углы $NMB$ и $NAB$ опираются на одну дугу $NB$, значит, $\angle NMB = 46^\circ$.

   Отдельная страница задачи
7. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Сторона равностороннего треугольника равна $10\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 5

   Для равностороннего треугольника $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$: $\frac{10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{30}{6} = 5$.

   Отдельная страница задачи
8. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $50^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 65

   Углы $AOD$ и $AOB$ смежные: $\angle AOB = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$. Вписанный угол $ACB$ опирается на ту же дугу $AB$, что и центральный $AOB$, и вдвое меньше: $65^\circ$.

   Отдельная страница задачи
9. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $120^\circ$, угол $CAD$ равен $74^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 46

   Углы $DBC$ и $DAC$ опираются на одну дугу $DC$, поэтому $\angle DBC = 74^\circ$. Тогда $\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC = 120^\circ - 74^\circ = 46^\circ$.

   Отдельная страница задачи
10. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

    Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $9\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 54

    Для равностороннего треугольника $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$, откуда $a = 2\sqrt{3}\,r = 2 \cdot 9\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 54$.

    Отдельная страница задачи