Задание 16 ОГЭ: окружность

Вписанные и центральные углы, касательные, вписанные и описанные фигуры. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 313 задач с ответами и решениями, на этой странице 241–250.

1. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен 15. Найдите $BC$, если $AC=24$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 18

   $AB$ диаметр, $AB = 2 \cdot 15 = 30$, и угол $C$ прямой. По теореме Пифагора $BC = \sqrt{30^2 - 24^2} = \sqrt{324} = 18$.

   Отдельная страница задачи
2. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен 20,5. Найдите $BC$, если $AC=9$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 40

   $AB$ диаметр, $AB = 2 \cdot 20{,}5 = 41$, и угол $C$ прямой. По теореме Пифагора $BC = \sqrt{41^2 - 9^2} = \sqrt{1600} = 40$.

   Отдельная страница задачи
3. КасательнаяОткрытый банк ФИПИ

   Касательные в точках $A$ и $B$ к окружности с центром в точке $O$ пересекаются под углом $72^\circ$. Найдите угол $ABO$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 36

   Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны касательным, поэтому в четырёхугольнике $OAPB$ угол $AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 72^\circ = 108^\circ$. Треугольник $AOB$ равнобедренный: $\angle ABO = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = 36^\circ$.

   Отдельная страница задачи
4. Вписанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $69^\circ$. Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 111

   Четырёхугольник вписан, сумма противоположных углов $A$ и $C$ равна $180^\circ$: $\angle C = 180^\circ - 69^\circ = 111^\circ$.

   Отдельная страница задачи
5. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Сторона равностороннего треугольника равна $2\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 1

   Для равностороннего треугольника $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$: $\frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

   Отдельная страница задачи
6. Описанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB=8$, $BC=20$, $CD=17$. Найдите $AD$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 5

   В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$. Отсюда $AD = 8 + 17 - 20 = 5$.

   Отдельная страница задачи
7. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $78^\circ$, угол $CAD$ равен $40^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 118

   Углы $DBC$ и $DAC$ опираются на одну дугу $DC$, поэтому $\angle DBC = 40^\circ$. Тогда $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 78^\circ + 40^\circ = 118^\circ$.

   Отдельная страница задачи
8. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 24. Найдите высоту этой трапеции.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 48

   Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: $2 \cdot 24 = 48$.

   Отдельная страница задачи
9. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $28\sqrt{2}$. Найдите длину стороны этого квадрата.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 56

   Диагональ квадрата равна диаметру: $d = 2 \cdot 28\sqrt{2}$, сторона $a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot 28\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 56$.

   Отдельная страница задачи
10. Описанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

    Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB=7$, $BC=10$, $CD=14$. Найдите $AD$.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 11

    В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$. Отсюда $AD = 7 + 14 - 10 = 11$.

    Отдельная страница задачи