Задание 16 ОГЭ: окружность

Вписанные и центральные углы, касательные, вписанные и описанные фигуры. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 313 задач с ответами и решениями, на этой странице 121–130.

1. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус вписанной в квадрат окружности равен $22\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 88

   Сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности: $a = 2 \cdot 22\sqrt{2}$. Диагональ $a\sqrt{2} = 2 \cdot 22\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 88$.

   Отдельная страница задачи
2. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $4\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 12

   Для равностороннего треугольника $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$, откуда $a = R\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 12$.

   Отдельная страница задачи
3. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 30. Найдите высоту этой трапеции.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 60

   Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: $2 \cdot 30 = 60$.

   Отдельная страница задачи
4. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $6\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 36

   Для равностороннего треугольника $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$, откуда $a = 2\sqrt{3}\,r = 2 \cdot 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 36$.

   Отдельная страница задачи
5. Описанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ описана около окружности, $AB=13$, $BC=4$, $CD=11$. Найдите $AD$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 20

   В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$. Отсюда $AD = 13 + 11 - 4 = 20$.

   Отдельная страница задачи
6. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $14\sqrt{2}$. Найдите длину стороны этого квадрата.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 28

   Диагональ квадрата равна диаметру: $d = 2 \cdot 14\sqrt{2}$, сторона $a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot 14\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 28$.

   Отдельная страница задачи
7. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 20. Найдите высоту этой трапеции.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 40

   Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: $2 \cdot 20 = 40$.

   Отдельная страница задачи
8. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Сторона квадрата равна $4\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 4

   Радиус описанной окружности равен половине диагонали: диагональ $4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 8$, радиус $4$.

   Отдельная страница задачи
9. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $85^\circ$, угол $CAD$ равен $19^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 104

   Углы $DBC$ и $DAC$ опираются на одну дугу $DC$, поэтому $\angle DBC = 19^\circ$. Тогда $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 85^\circ + 19^\circ = 104^\circ$.

   Отдельная страница задачи
10. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

    На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что $\angle NBA=36^\circ$. Найдите угол $NMB$. Ответ дайте в градусах.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 54

    Угол $ANB$ опирается на диаметр и равен $90^\circ$, поэтому $\angle NAB = 90^\circ - 36^\circ = 54^\circ$. Углы $NMB$ и $NAB$ опираются на одну дугу $NB$, значит, $\angle NMB = 54^\circ$.

    Отдельная страница задачи