Задание 16 ОГЭ: окружность

Вписанные и центральные углы, касательные, вписанные и описанные фигуры. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 313 задач с ответами и решениями, на этой странице 21–30.

1. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $4\sqrt{2}$. Найдите длину стороны этого квадрата.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 8

   Диагональ квадрата равна диаметру: $d = 2 \cdot 4\sqrt{2}$, сторона $a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot 4\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 8$.

   Отдельная страница задачи
2. Вписанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Угол $A$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равен $78^\circ$. Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 102

   У вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов $180^\circ$: $\angle C = 180^\circ - 78^\circ = 102^\circ$.

   Отдельная страница задачи
3. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $10\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 30

   Для равностороннего треугольника $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$, откуда $a = R\sqrt{3} = 10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 30$.

   Отдельная страница задачи
4. Описанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $135^\circ$, $AB=14\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 14

   По теореме синусов $\frac{AB}{\sin C} = 2R$, $\sin 135^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

   $$R = \frac{AB}{2\sin C} = \frac{14\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = 14.$$

   Отдельная страница задачи
5. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 36. Найдите высоту этой трапеции.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 72

   Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: $2 \cdot 36 = 72$.

   Отдельная страница задачи
6. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 22. Найдите высоту этой трапеции.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 44

   Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: $2 \cdot 22 = 44$.

   Отдельная страница задачи
7. Вписанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Угол $A$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равен $48^\circ$. Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 132

   У вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов $180^\circ$: $\angle C = 180^\circ - 48^\circ = 132^\circ$.

   Отдельная страница задачи
8. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$. Известно, что $\angle NBA=48^\circ$. Найдите угол $NMB$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 42

   Угол $ANB$ опирается на диаметр и равен $90^\circ$, поэтому $\angle NAB = 90^\circ - 48^\circ = 42^\circ$. Углы $NMB$ и $NAB$ опираются на одну дугу $NB$, значит, $\angle NMB = 42^\circ$.

   Отдельная страница задачи
9. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Сторона квадрата равна $24\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 24

   Радиус описанной окружности равен половине диагонали: диагональ $24\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 48$, радиус $24$.

   Отдельная страница задачи
10. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

    Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен 6,5. Найдите $AC$, если $BC=12$.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 5

    $AB$ диаметр, $AB = 2 \cdot 6{,}5 = 13$, и угол $C$ прямой. По теореме Пифагора $AC = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{25} = 5$.

    Отдельная страница задачи