Задание 16 ОГЭ: окружность

Вписанные и центральные углы, касательные, вписанные и описанные фигуры. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 313 задач с ответами и решениями, на этой странице 11–20.

1. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $51^\circ$, угол $CAD$ равен $42^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 93

   Углы $DBC$ и $DAC$ опираются на одну дугу $DC$, поэтому $\angle DBC = 42^\circ$. Тогда $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 51^\circ + 42^\circ = 93^\circ$.

   Отдельная страница задачи
2. Описанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $120^\circ$, $AB=18\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 18

   По теореме синусов $\frac{AB}{\sin C} = 2R$, $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

   $$R = \frac{AB}{2\sin C} = \frac{18\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = 18.$$

   Отдельная страница задачи
3. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 34. Найдите высоту этой трапеции.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 68

   Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: $2 \cdot 34 = 68$.

   Отдельная страница задачи
4. Вписанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $77^\circ$. Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 103

   Четырёхугольник вписан, сумма противоположных углов $A$ и $C$ равна $180^\circ$: $\angle C = 180^\circ - 77^\circ = 103^\circ$.

   Отдельная страница задачи
5. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 7.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 196

   Сторона квадрата равна диаметру окружности: $a = 2 \cdot 7 = 14$, площадь $14^2 = 196$.

   Отдельная страница задачи
6. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 10. Найдите высоту этой трапеции.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 20

   Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: $2 \cdot 10 = 20$.

   Отдельная страница задачи
7. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Периметр треугольника равен 54, одна из сторон равна 15, а радиус вписанной в него окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 27

   Площадь равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности: $S = \frac{54}{2} \cdot 1 = 27$. Длина стороны для ответа не нужна.

   Отдельная страница задачи
8. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Сторона квадрата равна 26. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 13

   Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата: $r = 26 : 2 = 13$.

   Отдельная страница задачи
9. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Найдите угол $ABC$, если угол $BAC$ равен $75^\circ$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 15

   Центр на стороне $AB$, значит, $AB$ диаметр и угол $C$, опирающийся на него, прямой. Тогда $\angle ABC = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ$.

   Отдельная страница задачи
10. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

    В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $114^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 33

    Углы $AOD$ и $AOB$ смежные: $\angle AOB = 180^\circ - 114^\circ = 66^\circ$. Вписанный угол $ACB$ опирается на ту же дугу $AB$, что и центральный $AOB$, и вдвое меньше: $33^\circ$.

    Отдельная страница задачи