Задание 16 ОГЭ: окружность

Вписанные и центральные углы, касательные, вписанные и описанные фигуры. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 313 задач с ответами и решениями, на этой странице 141–150.

1. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Сторона квадрата равна 6. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 3

   Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата: $r = 6 : 2 = 3$.

   Отдельная страница задачи
2. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$. Угол $ACB$ равен $16^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 148

   Центральный угол $AOB$ вдвое больше вписанного $ACB$, опирающегося на ту же дугу: $\angle AOB = 32^\circ$. Углы $AOB$ и $AOD$ смежные: $\angle AOD = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ$.

   Отдельная страница задачи
3. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 28. Найдите высоту этой трапеции.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 56

   Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: $2 \cdot 28 = 56$.

   Отдельная страница задачи
4. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус вписанной в квадрат окружности равен $6\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 24

   Сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности: $a = 2 \cdot 6\sqrt{2}$. Диагональ $a\sqrt{2} = 2 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 24$.

   Отдельная страница задачи
5. Вписанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $108^\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 72

   Углы $A$ и $B$ прилежат к боковой стороне трапеции, их сумма $180^\circ$: $\angle B = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$.

   Отдельная страница задачи
6. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $5\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 30

   Для равностороннего треугольника $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$, откуда $a = 2\sqrt{3}\,r = 2 \cdot 5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 30$.

   Отдельная страница задачи
7. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 30. Найдите высоту этой трапеции.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 60

   Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: $2 \cdot 30 = 60$.

   Отдельная страница задачи
8. Описанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   В треугольнике $ABC$ известно, что $AC=12$, $BC=5$, угол $C$ равен $90^\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 6,5

   Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности: $AB = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$, $R = 13 : 2 = 6{,}5$.

   Отдельная страница задачи
9. Описанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   В треугольнике $ABC$ известно, что $AC=20$, $BC=21$, угол $C$ равен $90^\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 14,5

   Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности: $AB = \sqrt{20^2 + 21^2} = 29$, $R = 29 : 2 = 14{,}5$.

   Отдельная страница задачи
10. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

    Периметр треугольника равен 56, одна из сторон равна 19, а радиус вписанной в него окружности равен 5. Найдите площадь этого треугольника.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 140

    Площадь равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности: $S = \frac{56}{2} \cdot 5 = 140$. Длина стороны для ответа не нужна.

    Отдельная страница задачи