Задание 16 ОГЭ: окружность

Вписанные и центральные углы, касательные, вписанные и описанные фигуры. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 313 задач с ответами и решениями, на этой странице 81–90.

1. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус вписанной в квадрат окружности равен $8\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 32

   Сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности: $a = 2 \cdot 8\sqrt{2}$. Диагональ $a\sqrt{2} = 2 \cdot 8\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 32$.

   Отдельная страница задачи
2. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Сторона равностороннего треугольника равна $14\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 14

   Для равностороннего треугольника $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$: $\frac{14\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{42}{3} = 14$.

   Отдельная страница задачи
3. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $36\sqrt{2}$. Найдите длину стороны этого квадрата.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 72

   Диагональ квадрата равна диаметру: $d = 2 \cdot 36\sqrt{2}$, сторона $a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot 36\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 72$.

   Отдельная страница задачи
4. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $11\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 33

   Для равностороннего треугольника $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$, откуда $a = R\sqrt{3} = 11\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 33$.

   Отдельная страница задачи
5. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $9\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 27

   Для равностороннего треугольника $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$, откуда $a = R\sqrt{3} = 9\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 27$.

   Отдельная страница задачи
6. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $70^\circ$, угол $CAD$ равен $49^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 21

   Углы $DBC$ и $DAC$ опираются на одну дугу $DC$, поэтому $\angle DBC = 49^\circ$. Тогда $\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC = 70^\circ - 49^\circ = 21^\circ$.

   Отдельная страница задачи
7. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$. Угол $ACB$ равен $19^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 142

   Центральный угол $AOB$ вдвое больше вписанного $ACB$, опирающегося на ту же дугу: $\angle AOB = 38^\circ$. Углы $AOB$ и $AOD$ смежные: $\angle AOD = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ$.

   Отдельная страница задачи
8. Вписанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Угол $A$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равен $54^\circ$. Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 126

   У вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов $180^\circ$: $\angle C = 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ$.

   Отдельная страница задачи
9. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 32. Найдите высоту этой трапеции.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 64

   Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: $2 \cdot 32 = 64$.

   Отдельная страница задачи
10. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

    Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$. Угол $ACB$ равен $78^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 24

    Центральный угол $AOB$ вдвое больше вписанного $ACB$, опирающегося на ту же дугу: $\angle AOB = 156^\circ$. Углы $AOB$ и $AOD$ смежные: $\angle AOD = 180^\circ - 156^\circ = 24^\circ$.

    Отдельная страница задачи