Задание 16 ОГЭ: окружность

Вписанные и центральные углы, касательные, вписанные и описанные фигуры. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 313 задач с ответами и решениями, на этой странице 71–80.

1. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $86^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 47

   Углы $AOD$ и $AOB$ смежные: $\angle AOB = 180^\circ - 86^\circ = 94^\circ$. Вписанный угол $ACB$ опирается на ту же дугу $AB$, что и центральный $AOB$, и вдвое меньше: $47^\circ$.

   Отдельная страница задачи
2. Описанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $120^\circ$, $AB=22\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 22

   По теореме синусов $\frac{AB}{\sin C} = 2R$, $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

   $$R = \frac{AB}{2\sin C} = \frac{22\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = 22.$$

   Отдельная страница задачи
3. Описанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ описана около окружности, $AB=7$, $BC=5$, $CD=17$. Найдите $AD$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 19

   В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$. Отсюда $AD = 7 + 17 - 5 = 19$.

   Отдельная страница задачи
4. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Сторона квадрата равна 62. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 31

   Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата: $r = 62 : 2 = 31$.

   Отдельная страница задачи
5. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$. Угол $ACB$ равен $54^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 72

   Центральный угол $AOB$ вдвое больше вписанного $ACB$, опирающегося на ту же дугу: $\angle AOB = 108^\circ$. Углы $AOB$ и $AOD$ смежные: $\angle AOD = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$.

   Отдельная страница задачи
6. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $3\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 18

   Для равностороннего треугольника $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$, откуда $a = 2\sqrt{3}\,r = 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 18$.

   Отдельная страница задачи
7. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 9.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 324

   Сторона квадрата равна диаметру окружности: $a = 2 \cdot 9 = 18$, площадь $18^2 = 324$.

   Отдельная страница задачи
8. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 40.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 6400

   Сторона квадрата равна диаметру окружности: $a = 2 \cdot 40 = 80$, площадь $80^2 = 6400$.

   Отдельная страница задачи
9. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Найдите угол $ABC$, если угол $BAC$ равен $9^\circ$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 81

   Центр на стороне $AB$, значит, $AB$ диаметр и угол $C$, опирающийся на него, прямой. Тогда $\angle ABC = 90^\circ - 9^\circ = 81^\circ$.

   Отдельная страница задачи
10. Описанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

    Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB=14$, $BC=15$, $CD=23$. Найдите $AD$.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 22

    В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$. Отсюда $AD = 14 + 23 - 15 = 22$.

    Отдельная страница задачи