Задание 16 ОГЭ: окружность

Вписанные и центральные углы, касательные, вписанные и описанные фигуры. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 313 задач с ответами и решениями, на этой странице 261–270.

1. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус вписанной в квадрат окружности равен $10\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 40

   Сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности: $a = 2 \cdot 10\sqrt{2}$. Диагональ $a\sqrt{2} = 2 \cdot 10\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 40$.

   Отдельная страница задачи
2. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Сторона квадрата равна $16\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 16

   Радиус описанной окружности равен половине диагонали: диагональ $16\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 32$, радиус $16$.

   Отдельная страница задачи
3. Описанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   В треугольнике $ABC$ известно, что $AC=10$, $BC=24$, угол $C$ равен $90^\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 13

   Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности: $AB = \sqrt{10^2 + 24^2} = 26$, $R = 26 : 2 = 13$.

   Отдельная страница задачи
4. Описанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $150^\circ$, $AB=26$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 26

   По теореме синусов $\frac{AB}{\sin C} = 2R$, $\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$:

   $$R = \frac{AB}{2\sin C} = \frac{26}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 26.$$

   Отдельная страница задачи
5. Вписанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 42. Найдите высоту этой трапеции.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 84

   Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: $2 \cdot 42 = 84$.

   Отдельная страница задачи
6. Описанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   В треугольнике $ABC$ известно, что $AC=40$, $BC=30$, угол $C$ равен $90^\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 25

   Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности: $AB = \sqrt{40^2 + 30^2} = 50$, $R = 50 : 2 = 25$.

   Отдельная страница задачи
7. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $16^\circ$, угол $CAD$ равен $32^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 48

   Углы $DBC$ и $DAC$ опираются на одну дугу $DC$, поэтому $\angle DBC = 32^\circ$. Тогда $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 16^\circ + 32^\circ = 48^\circ$.

   Отдельная страница задачи
8. Равносторонний треугольникОткрытый банк ФИПИ

   Сторона равностороннего треугольника равна $12\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 6

   Для равностороннего треугольника $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$: $\frac{12\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{36}{6} = 6$.

   Отдельная страница задачи
9. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 14.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 784

   Сторона квадрата равна диаметру окружности: $a = 2 \cdot 14 = 28$, площадь $28^2 = 784$.

   Отдельная страница задачи
10. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

    Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $82^\circ$, угол $CAD$ равен $28^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 110

    Углы $DBC$ и $DAC$ опираются на одну дугу $DC$, поэтому $\angle DBC = 28^\circ$. Тогда $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 82^\circ + 28^\circ = 110^\circ$.

    Отдельная страница задачи