Задание 16 ОГЭ: окружность

Вписанные и центральные углы, касательные, вписанные и описанные фигуры. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 313 задач с ответами и решениями, на этой странице 61–70.

1. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 25.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 2500

   Сторона квадрата равна диаметру окружности: $a = 2 \cdot 25 = 50$, площадь $50^2 = 2500$.

   Отдельная страница задачи
2. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $26\sqrt{2}$. Найдите длину стороны этого квадрата.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 52

   Диагональ квадрата равна диаметру: $d = 2 \cdot 26\sqrt{2}$, сторона $a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot 26\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 52$.

   Отдельная страница задачи
3. Описанный четырёхугольникОткрытый банк ФИПИ

   Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ описана около окружности, $AB=9$, $BC=5$, $CD=7$. Найдите $AD$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 11

   В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$. Отсюда $AD = 9 + 7 - 5 = 11$.

   Отдельная страница задачи
4. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Сторона квадрата равна 48. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 24

   Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата: $r = 48 : 2 = 24$.

   Отдельная страница задачи
5. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $25^\circ$, угол $CAD$ равен $41^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 66

   Углы $DBC$ и $DAC$ опираются на одну дугу $DC$, поэтому $\angle DBC = 41^\circ$. Тогда $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 25^\circ + 41^\circ = 66^\circ$.

   Отдельная страница задачи
6. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Найдите угол $ABC$, если угол $BAC$ равен $33^\circ$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 57

   Центр на стороне $AB$, значит, $AB$ диаметр и угол $C$, опирающийся на него, прямой. Тогда $\angle ABC = 90^\circ - 33^\circ = 57^\circ$.

   Отдельная страница задачи
7. Описанная окружностьОткрытый банк ФИПИ

   В треугольнике $ABC$ известно, что $AC=6$, $BC=8$, угол $C$ равен $90^\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 5

   Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности: $AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$, $R = 10 : 2 = 5$.

   Отдельная страница задачи
8. Квадрат и окружностьОткрытый банк ФИПИ

   Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $32\sqrt{2}$. Найдите длину стороны этого квадрата.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 64

   Диагональ квадрата равна диаметру: $d = 2 \cdot 32\sqrt{2}$, сторона $a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot 32\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 64$.

   Отдельная страница задачи
9. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

   Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $AOB$ равен $67^\circ$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 33,5

   Вписанный угол $ACB$ и центральный угол $AOB$ опираются на одну дугу, вписанный вдвое меньше: $67^\circ : 2 = 33{,}5^\circ$.

   Отдельная страница задачи
10. Вписанный уголОткрытый банк ФИПИ

    Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Найдите угол $ACB$, если угол $AOB$ равен $115^\circ$. Ответ дайте в градусах.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 57,5

    Вписанный угол $ACB$ и центральный угол $AOB$ опираются на одну дугу, вписанный вдвое меньше: $115^\circ : 2 = 57{,}5^\circ$.

    Отдельная страница задачи