Задание 17 ОГЭ: четырёхугольники

Параллелограмм, ромб, трапеция: углы, стороны, площади. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 329 задач с ответами и решениями, на этой странице 151–160.

1. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

   Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $220^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 70

   Сумма не $180^\circ$, значит, это два равных угла при одном основании: каждый $220^\circ : 2 = 110^\circ$. Углы при другом основании $180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. Меньший угол $70^\circ$.

   Отдельная страница задачи
2. Фигуры на клеткахОткрытый банк ФИПИ

   На клетчатой бумаге с размером клетки $1\cdot 1$ изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 6

   Диагонали ромба идут по линиям сетки: $2$ и $6$ клеток. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: $\frac{2 \cdot 6}{2} = 6$.

   Отдельная страница задачи
3. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

   Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $50^\circ$. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 155

   Сумма не $180^\circ$, значит, это два равных угла при одном основании: каждый $50^\circ : 2 = 25^\circ$. Углы при другом основании $180^\circ - 25^\circ = 155^\circ$. Больший угол $155^\circ$.

   Отдельная страница задачи
4. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

   Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины $C$, делит основание $AD$ на отрезки длиной 8 и 15. Найдите длину основания $BC$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 7

   Высоты из концов меньшего основания отсекают от большего основания два равных отрезка по $8$. Большее основание $8 + 15 = 23$, меньшее $23 - 2 \cdot 8 = 7$.

   Отдельная страница задачи
5. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

   Основания трапеции равны 2 и 9. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 4,5

   Диагональ делит трапецию на два треугольника, и отрезки средней линии являются их средними линиями: половины оснований. Больший из них $9 : 2 = 4{,}5$.

   Отдельная страница задачи
6. Фигуры на клеткахОткрытый банк ФИПИ

   На клетчатой бумаге с размером клетки $1\cdot 1$ изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 4

   Основания трапеции идут по линиям сетки: $2$ и $6$ клеток. Средняя линия равна полусумме оснований: $\frac{2 + 6}{2} = 4$.

   Отдельная страница задачи
7. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

   В равнобедренной трапеции известна высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 13

   Высота $5$ отсекает прямоугольный треугольник с углом $45^\circ$, он равнобедренный, поэтому отрезок большего основания у боковой стороны тоже $5$. Таких отрезков два, по одному с каждой стороны: большее основание $3 + 2 \cdot 5 = 13$.

   Отдельная страница задачи
8. ПараллелограммОткрытый банк ФИПИ

   Найдите острый угол параллелограмма $ABCD$, если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $12^\circ$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 24

   Пусть биссектриса пересекает $BC$ в точке $E$. Угол $AEB$ равен углу $EAD$ как накрест лежащий, а он половина угла $A$. Значит, $\angle A = 2 \cdot 12^\circ = 24^\circ$.

   Отдельная страница задачи
9. ПараллелограммОткрытый банк ФИПИ

   Один из углов параллелограмма равен $26^\circ$. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 154

   Углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают $180^\circ$, поэтому у фигуры есть углы $26^\circ$ и $180^\circ - 26^\circ = 154^\circ$. Больший угол $154^\circ$.

   Отдельная страница задачи
10. РомбОткрытый банк ФИПИ

    Периметр ромба равен 60, а один из углов равен $30^\circ$. Найдите площадь этого ромба.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 112,5

    Сторона ромба $60 : 4 = 15$. $S = a^2 \sin \alpha = 15^2 \cdot \frac{1}{2} = 112{,}5$.

    Отдельная страница задачи