AuraLabAcademy

Задание 17 ОГЭ: четырёхугольники

Параллелограмм, ромб, трапеция: углы, стороны, площади. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 329 задач с ответами и решениями, на этой странице 231–240.

  1. Фигуры на клеткахОткрытый банк ФИПИ

    На клетчатой бумаге с размером клетки 1⋅11\cdot 1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

    Рисунок к задаче: фигуры на клетках

    Показать ответ и решение

    Ответ: 40

    Диагонали ромба идут по линиям сетки: 1010 и 88 клеток. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: 10⋅82=40\frac{10 \cdot 8}{2} = 40.

    Отдельная страница задачи
  2. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

    Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол 45∘45^\circ. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 4 и 7.

    Рисунок к задаче: трапеция

    Показать ответ и решение

    Ответ: 5,5

    Высота из вершины меньшего основания отсекает от большего основания отрезок a+b2\frac{a + b}{2} от противоположной вершины. Диагональ с этим отрезком и высотой образует прямоугольный треугольник с углом 45∘45^\circ, поэтому высота равна этому отрезку: 4+72=5,5\frac{4 + 7}{2} = 5{,}5.

    Отдельная страница задачи
  3. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

    Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы 28∘28^\circ и 82∘82^\circ. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

    Рисунок к задаче: трапеция

    Показать ответ и решение

    Ответ: 63

    Пусть ACAC диагональ, ∠BAC=α\angle BAC = \alpha, ∠ACD=β\angle ACD = \beta, ∠CAD=x\angle CAD = x. Углы при основании равны: ∠D=∠A=α+x\angle D = \angle A = \alpha + x. В треугольнике ACDACD: x+β+α+x=180∘x + \beta + \alpha + x = 180^\circ, откуда угол при основании α+x=180∘+α−β2\alpha + x = \frac{180^\circ + \alpha - \beta}{2}.

    При большем основании угол острый, поэтому подставляем меньший угол как α\alpha: 180∘+28∘−82∘2=63∘\frac{180^\circ + 28^\circ - 82^\circ}{2} = 63^\circ.

    Отдельная страница задачи
  4. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

    В равнобедренной трапеции ABCDABCD угол DD равен 52∘52^\circ. Найдите градусную меру угла ACDACD, если луч ACAC является биссектрисой угла BADBAD.

    Рисунок к задаче: трапеция

    Показать ответ и решение

    Ответ: 102

    Трапеция равнобедренная: ∠BAD=∠D=52∘\angle BAD = \angle D = 52^\circ, биссектриса даёт ∠CAD=26∘\angle CAD = 26^\circ. В треугольнике ACDACD: ∠ACD=180∘−52∘−26∘=102∘\angle ACD = 180^\circ - 52^\circ - 26^\circ = 102^\circ.

    Отдельная страница задачи
  5. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

    В равнобедренной трапеции с основаниями ADAD и BCBC угол DD равен 64∘64^\circ. Диагональ ACAC образует со стороной ABAB угол 29∘29^\circ. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

    Рисунок к задаче: трапеция

    Показать ответ и решение

    Ответ: 35

    Трапеция равнобедренная, поэтому ∠A=∠D=64∘\angle A = \angle D = 64^\circ. ∠CAD=∠A−∠BAC=64∘−29∘=35∘\angle CAD = \angle A - \angle BAC = 64^\circ - 29^\circ = 35^\circ.

    Угол между диагональю и меньшим основанием BCBC равен ∠ACB=∠CAD=35∘\angle ACB = \angle CAD = 35^\circ как накрест лежащий.

    Отдельная страница задачи
  6. РомбОткрытый банк ФИПИ

    Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 32∘32^\circ. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

    Рисунок к задаче: ромб

    Показать ответ и решение

    Ответ: 64

    Диагонали ромба перпендикулярны. В прямоугольном треугольнике у вершины ромба угол между диагональю и стороной равен 90∘−32∘90^\circ - 32^\circ, а угол ромба вдвое больше: 180∘−2⋅32∘=116∘180^\circ - 2 \cdot 32^\circ = 116^\circ. Соседний угол 64∘64^\circ, острый из них 64∘64^\circ.

    Отдельная страница задачи
  7. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

    В равнобедренной трапеции с основаниями ADAD и BCBC угол DD равен 69∘69^\circ. Диагональ ACAC образует со стороной CDCD угол 67∘67^\circ. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

    Рисунок к задаче: трапеция

    Показать ответ и решение

    Ответ: 44

    Трапеция равнобедренная, поэтому ∠A=∠D=69∘\angle A = \angle D = 69^\circ. Из треугольника ACDACD: ∠CAD=180∘−69∘−67∘=44∘\angle CAD = 180^\circ - 69^\circ - 67^\circ = 44^\circ.

    Угол между диагональю и меньшим основанием BCBC равен ∠ACB=∠CAD=44∘\angle ACB = \angle CAD = 44^\circ как накрест лежащий.

    Отдельная страница задачи
  8. РомбОткрытый банк ФИПИ

    Острый угол ромба равен 62∘62^\circ. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?

    Рисунок к задаче: ромб

    Показать ответ и решение

    Ответ: 59

    Меньшая диагональ отсекает равнобедренный треугольник с углом 62∘62^\circ при вершине и двумя сторонами ромба. Углы при основании: 180∘−62∘2=59∘\frac{180^\circ - 62^\circ}{2} = 59^\circ.

    Отдельная страница задачи
  9. РомбОткрытый банк ФИПИ

    Острый угол ромба равен 48∘48^\circ. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?

    Рисунок к задаче: ромб

    Показать ответ и решение

    Ответ: 66

    Меньшая диагональ отсекает равнобедренный треугольник с углом 48∘48^\circ при вершине и двумя сторонами ромба. Углы при основании: 180∘−48∘2=66∘\frac{180^\circ - 48^\circ}{2} = 66^\circ.

    Отдельная страница задачи
  10. РомбОткрытый банк ФИПИ

    Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 38∘38^\circ. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

    Рисунок к задаче: ромб

    Показать ответ и решение

    Ответ: 76

    Диагонали ромба перпендикулярны. В прямоугольном треугольнике у вершины ромба угол между диагональю и стороной равен 90∘−38∘90^\circ - 38^\circ, а угол ромба вдвое больше: 180∘−2⋅38∘=104∘180^\circ - 2 \cdot 38^\circ = 104^\circ. Соседний угол 76∘76^\circ, острый из них 76∘76^\circ.

    Отдельная страница задачи

Разберём задание 17 с преподавателем

Первый урок бесплатный: покажем, где теряются баллы, и составим план до экзамена

Записаться на пробный урок