Задание 17 ОГЭ: четырёхугольники

Параллелограмм, ромб, трапеция: углы, стороны, площади. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 329 задач с ответами и решениями, на этой странице 251–260.

1. РомбОткрытый банк ФИПИ

   Один из углов ромба равен $138^\circ$. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 69

   Острый угол ромба $42^\circ$. Большая диагональ выходит из вершины острого угла и делит его пополам: $21^\circ$ со стороной. Высота перпендикулярна стороне, поэтому в прямоугольном треугольнике угол между высотой и диагональю $90^\circ - 21^\circ = 69^\circ$.

   Отдельная страница задачи
2. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

   Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $23^\circ$ и $75^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 64

   Пусть $AC$ диагональ, $\angle BAC = \alpha$, $\angle ACD = \beta$, $\angle CAD = x$. Углы при основании равны: $\angle D = \angle A = \alpha + x$. В треугольнике $ACD$: $x + \beta + \alpha + x = 180^\circ$, откуда угол при основании $\alpha + x = \frac{180^\circ + \alpha - \beta}{2}$.

   При большем основании угол острый, поэтому подставляем меньший угол как $\alpha$: $\frac{180^\circ + 23^\circ - 75^\circ}{2} = 64^\circ$.

   Отдельная страница задачи
3. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

   Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 3 и 8.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 5,5

   Высота из вершины меньшего основания отсекает от большего основания отрезок $\frac{a + b}{2}$ от противоположной вершины. Диагональ с этим отрезком и высотой образует прямоугольный треугольник с углом $45^\circ$, поэтому высота равна этому отрезку: $\frac{3 + 8}{2} = 5{,}5$.

   Отдельная страница задачи
4. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

   Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $29^\circ$ и $77^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 66

   Пусть $AC$ диагональ, $\angle BAC = \alpha$, $\angle ACD = \beta$, $\angle CAD = x$. Углы при основании равны: $\angle D = \angle A = \alpha + x$. В треугольнике $ACD$: $x + \beta + \alpha + x = 180^\circ$, откуда угол при основании $\alpha + x = \frac{180^\circ + \alpha - \beta}{2}$.

   При большем основании угол острый, поэтому подставляем меньший угол как $\alpha$: $\frac{180^\circ + 29^\circ - 77^\circ}{2} = 66^\circ$.

   Отдельная страница задачи
5. РомбОткрытый банк ФИПИ

   Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол $29^\circ$. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 58

   Диагонали ромба перпендикулярны. В прямоугольном треугольнике у вершины ромба угол между диагональю и стороной равен $90^\circ - 29^\circ$, а угол ромба вдвое больше: $180^\circ - 2 \cdot 29^\circ = 122^\circ$. Соседний угол $58^\circ$, острый из них $58^\circ$.

   Отдельная страница задачи
6. РомбОткрытый банк ФИПИ

   Один из углов ромба равен $142^\circ$. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 71

   Острый угол ромба $38^\circ$. Большая диагональ выходит из вершины острого угла и делит его пополам: $19^\circ$ со стороной. Высота перпендикулярна стороне, поэтому в прямоугольном треугольнике угол между высотой и диагональю $90^\circ - 19^\circ = 71^\circ$.

   Отдельная страница задачи
7. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

   Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 2 и 6. Найдите меньшее основание трапеции.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 4

   Высоты из концов меньшего основания отсекают от большего основания два равных отрезка по $2$. Большее основание $2 + 6 = 8$, меньшее $8 - 2 \cdot 2 = 4$.

   Отдельная страница задачи
8. РомбОткрытый банк ФИПИ

   Острый угол ромба равен $56^\circ$. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 62

   Меньшая диагональ отсекает равнобедренный треугольник с углом $56^\circ$ при вершине и двумя сторонами ромба. Углы при основании: $\frac{180^\circ - 56^\circ}{2} = 62^\circ$.

   Отдельная страница задачи
9. РомбОткрытый банк ФИПИ

   Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол $41^\circ$. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 82

   Диагонали ромба перпендикулярны. В прямоугольном треугольнике у вершины ромба угол между диагональю и стороной равен $90^\circ - 41^\circ$, а угол ромба вдвое больше: $180^\circ - 2 \cdot 41^\circ = 98^\circ$. Соседний угол $82^\circ$, острый из них $82^\circ$.

   Отдельная страница задачи
10. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

    Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 4 и 8.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 6

    Высота из вершины меньшего основания отсекает от большего основания отрезок $\frac{a + b}{2}$ от противоположной вершины. Диагональ с этим отрезком и высотой образует прямоугольный треугольник с углом $45^\circ$, поэтому высота равна этому отрезку: $\frac{4 + 8}{2} = 6$.

    Отдельная страница задачи