Задание 17 ОГЭ: четырёхугольники

Параллелограмм, ромб, трапеция: углы, стороны, площади. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 329 задач с ответами и решениями, на этой странице 271–280.

1. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

   Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 4 и 7. Найдите меньшее основание трапеции.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 3

   Высоты из концов меньшего основания отсекают от большего основания два равных отрезка по $4$. Большее основание $4 + 7 = 11$, меньшее $11 - 2 \cdot 4 = 3$.

   Отдельная страница задачи
2. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

   Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 4 и 9.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 6,5

   Высота из вершины меньшего основания отсекает от большего основания отрезок $\frac{a + b}{2}$ от противоположной вершины. Диагональ с этим отрезком и высотой образует прямоугольный треугольник с углом $45^\circ$, поэтому высота равна этому отрезку: $\frac{4 + 9}{2} = 6{,}5$.

   Отдельная страница задачи
3. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

   Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $18^\circ$ и $64^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 67

   Пусть $AC$ диагональ, $\angle BAC = \alpha$, $\angle ACD = \beta$, $\angle CAD = x$. Углы при основании равны: $\angle D = \angle A = \alpha + x$. В треугольнике $ACD$: $x + \beta + \alpha + x = 180^\circ$, откуда угол при основании $\alpha + x = \frac{180^\circ + \alpha - \beta}{2}$.

   При большем основании угол острый, поэтому подставляем меньший угол как $\alpha$: $\frac{180^\circ + 18^\circ - 64^\circ}{2} = 67^\circ$.

   Отдельная страница задачи
4. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

   В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $67^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $26^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 41

   Трапеция равнобедренная, поэтому $\angle A = \angle D = 67^\circ$. $\angle CAD = \angle A - \angle BAC = 67^\circ - 26^\circ = 41^\circ$.

   Угол между диагональю и меньшим основанием $BC$ равен $\angle ACB = \angle CAD = 41^\circ$ как накрест лежащий.

   Отдельная страница задачи
5. РомбОткрытый банк ФИПИ

   Один из углов ромба равен $114^\circ$. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 57

   Острый угол ромба $66^\circ$. Большая диагональ выходит из вершины острого угла и делит его пополам: $33^\circ$ со стороной. Высота перпендикулярна стороне, поэтому в прямоугольном треугольнике угол между высотой и диагональю $90^\circ - 33^\circ = 57^\circ$.

   Отдельная страница задачи
6. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

   Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 3 и 7.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 5

   Высота из вершины меньшего основания отсекает от большего основания отрезок $\frac{a + b}{2}$ от противоположной вершины. Диагональ с этим отрезком и высотой образует прямоугольный треугольник с углом $45^\circ$, поэтому высота равна этому отрезку: $\frac{3 + 7}{2} = 5$.

   Отдельная страница задачи
7. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

   В равнобедренной трапеции $ABCD$ угол $D$ равен $66^\circ$. Найдите градусную меру угла $ACD$, если луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 81

   Трапеция равнобедренная: $\angle BAD = \angle D = 66^\circ$, биссектриса даёт $\angle CAD = 33^\circ$. В треугольнике $ACD$: $\angle ACD = 180^\circ - 66^\circ - 33^\circ = 81^\circ$.

   Отдельная страница задачи
8. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

   Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $24^\circ$ и $78^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 63

   Пусть $AC$ диагональ, $\angle BAC = \alpha$, $\angle ACD = \beta$, $\angle CAD = x$. Углы при основании равны: $\angle D = \angle A = \alpha + x$. В треугольнике $ACD$: $x + \beta + \alpha + x = 180^\circ$, откуда угол при основании $\alpha + x = \frac{180^\circ + \alpha - \beta}{2}$.

   При большем основании угол острый, поэтому подставляем меньший угол как $\alpha$: $\frac{180^\circ + 24^\circ - 78^\circ}{2} = 63^\circ$.

   Отдельная страница задачи
9. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

   Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 3 и 6. Найдите меньшее основание трапеции.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 3

   Высоты из концов меньшего основания отсекают от большего основания два равных отрезка по $3$. Большее основание $3 + 6 = 9$, меньшее $9 - 2 \cdot 3 = 3$.

   Отдельная страница задачи
10. РомбОткрытый банк ФИПИ

    Диагональ $AC$ ромба $ABCD$ равна 8, а $\operatorname{tg}BCA=0{,}5$. Найдите площадь ромба.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 16

    Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. В прямоугольном треугольнике $BOC$: $BO = OC \cdot \operatorname{tg} BCA = 4 \cdot 0{,}5 = 2$, значит, $BD = 4$.

    $S = \frac{AC \cdot BD}{2} = \frac{8 \cdot 4}{2} = 16$.

    Отдельная страница задачи