Задание 17 ОГЭ: четырёхугольники

Параллелограмм, ромб, трапеция: углы, стороны, площади. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 329 задач с ответами и решениями, на этой странице 261–270.

1. РомбОткрытый банк ФИПИ

   Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол $36^\circ$. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 72

   Диагонали ромба перпендикулярны. В прямоугольном треугольнике у вершины ромба угол между диагональю и стороной равен $90^\circ - 36^\circ$, а угол ромба вдвое больше: $180^\circ - 2 \cdot 36^\circ = 108^\circ$. Соседний угол $72^\circ$, острый из них $72^\circ$.

   Отдельная страница задачи
2. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

   Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 4 и 6. Найдите меньшее основание трапеции.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 2

   Высоты из концов меньшего основания отсекают от большего основания два равных отрезка по $4$. Большее основание $4 + 6 = 10$, меньшее $10 - 2 \cdot 4 = 2$.

   Отдельная страница задачи
3. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

   В равнобедренной трапеции $ABCD$ угол $D$ равен $62^\circ$. Найдите градусную меру угла $ACD$, если луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 87

   Трапеция равнобедренная: $\angle BAD = \angle D = 62^\circ$, биссектриса даёт $\angle CAD = 31^\circ$. В треугольнике $ACD$: $\angle ACD = 180^\circ - 62^\circ - 31^\circ = 87^\circ$.

   Отдельная страница задачи
4. РомбОткрытый банк ФИПИ

   Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол $39^\circ$. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 78

   Диагонали ромба перпендикулярны. В прямоугольном треугольнике у вершины ромба угол между диагональю и стороной равен $90^\circ - 39^\circ$, а угол ромба вдвое больше: $180^\circ - 2 \cdot 39^\circ = 102^\circ$. Соседний угол $78^\circ$, острый из них $78^\circ$.

   Отдельная страница задачи
5. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

   Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $25^\circ$ и $73^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 66

   Пусть $AC$ диагональ, $\angle BAC = \alpha$, $\angle ACD = \beta$, $\angle CAD = x$. Углы при основании равны: $\angle D = \angle A = \alpha + x$. В треугольнике $ACD$: $x + \beta + \alpha + x = 180^\circ$, откуда угол при основании $\alpha + x = \frac{180^\circ + \alpha - \beta}{2}$.

   При большем основании угол острый, поэтому подставляем меньший угол как $\alpha$: $\frac{180^\circ + 25^\circ - 73^\circ}{2} = 66^\circ$.

   Отдельная страница задачи
6. РомбОткрытый банк ФИПИ

   Один из углов ромба равен $110^\circ$. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 55

   Острый угол ромба $70^\circ$. Большая диагональ выходит из вершины острого угла и делит его пополам: $35^\circ$ со стороной. Высота перпендикулярна стороне, поэтому в прямоугольном треугольнике угол между высотой и диагональю $90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$.

   Отдельная страница задачи
7. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

   Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $18^\circ$ и $58^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 70

   Пусть $AC$ диагональ, $\angle BAC = \alpha$, $\angle ACD = \beta$, $\angle CAD = x$. Углы при основании равны: $\angle D = \angle A = \alpha + x$. В треугольнике $ACD$: $x + \beta + \alpha + x = 180^\circ$, откуда угол при основании $\alpha + x = \frac{180^\circ + \alpha - \beta}{2}$.

   При большем основании угол острый, поэтому подставляем меньший угол как $\alpha$: $\frac{180^\circ + 18^\circ - 58^\circ}{2} = 70^\circ$.

   Отдельная страница задачи
8. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

   Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 2 и 8.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 5

   Высота из вершины меньшего основания отсекает от большего основания отрезок $\frac{a + b}{2}$ от противоположной вершины. Диагональ с этим отрезком и высотой образует прямоугольный треугольник с углом $45^\circ$, поэтому высота равна этому отрезку: $\frac{2 + 8}{2} = 5$.

   Отдельная страница задачи
9. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

   В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $73^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $53^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 54

   Трапеция равнобедренная, поэтому $\angle A = \angle D = 73^\circ$. Из треугольника $ACD$: $\angle CAD = 180^\circ - 73^\circ - 53^\circ = 54^\circ$.

   Угол между диагональю и меньшим основанием $BC$ равен $\angle ACB = \angle CAD = 54^\circ$ как накрест лежащий.

   Отдельная страница задачи
10. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

    В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $61^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $81^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 38

    Трапеция равнобедренная, поэтому $\angle A = \angle D = 61^\circ$. Из треугольника $ACD$: $\angle CAD = 180^\circ - 61^\circ - 81^\circ = 38^\circ$.

    Угол между диагональю и меньшим основанием $BC$ равен $\angle ACB = \angle CAD = 38^\circ$ как накрест лежащий.

    Отдельная страница задачи