AuraLabAcademy

Задание 17 ОГЭ: четырёхугольники

Параллелограмм, ромб, трапеция: углы, стороны, площади. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 329 задач с ответами и решениями, на этой странице 311–320.

  1. РомбОткрытый банк ФИПИ

    Один из углов ромба равен 122∘122^\circ. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?

    Рисунок к задаче: ромб

    Показать ответ и решение

    Ответ: 61

    Острый угол ромба 58∘58^\circ. Большая диагональ выходит из вершины острого угла и делит его пополам: 29∘29^\circ со стороной. Высота перпендикулярна стороне, поэтому в прямоугольном треугольнике угол между высотой и диагональю 90∘−29∘=61∘90^\circ - 29^\circ = 61^\circ.

    Отдельная страница задачи
  2. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

    Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол 45∘45^\circ. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 3 и 5.

    Рисунок к задаче: трапеция

    Показать ответ и решение

    Ответ: 4

    Высота из вершины меньшего основания отсекает от большего основания отрезок a+b2\frac{a + b}{2} от противоположной вершины. Диагональ с этим отрезком и высотой образует прямоугольный треугольник с углом 45∘45^\circ, поэтому высота равна этому отрезку: 3+52=4\frac{3 + 5}{2} = 4.

    Отдельная страница задачи
  3. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

    В равнобедренной трапеции с основаниями ADAD и BCBC угол DD равен 64∘64^\circ. Диагональ ACAC образует со стороной CDCD угол 81∘81^\circ. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

    Рисунок к задаче: трапеция

    Показать ответ и решение

    Ответ: 35

    Трапеция равнобедренная, поэтому ∠A=∠D=64∘\angle A = \angle D = 64^\circ. Из треугольника ACDACD: ∠CAD=180∘−64∘−81∘=35∘\angle CAD = 180^\circ - 64^\circ - 81^\circ = 35^\circ.

    Угол между диагональю и меньшим основанием BCBC равен ∠ACB=∠CAD=35∘\angle ACB = \angle CAD = 35^\circ как накрест лежащий.

    Отдельная страница задачи
  4. РомбОткрытый банк ФИПИ

    Один из углов ромба равен 150∘150^\circ. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?

    Рисунок к задаче: ромб

    Показать ответ и решение

    Ответ: 75

    Острый угол ромба 30∘30^\circ. Большая диагональ выходит из вершины острого угла и делит его пополам: 15∘15^\circ со стороной. Высота перпендикулярна стороне, поэтому в прямоугольном треугольнике угол между высотой и диагональю 90∘−15∘=75∘90^\circ - 15^\circ = 75^\circ.

    Отдельная страница задачи
  5. РомбОткрытый банк ФИПИ

    Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 40∘40^\circ. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

    Рисунок к задаче: ромб

    Показать ответ и решение

    Ответ: 80

    Диагонали ромба перпендикулярны. В прямоугольном треугольнике у вершины ромба угол между диагональю и стороной равен 90∘−40∘90^\circ - 40^\circ, а угол ромба вдвое больше: 180∘−2⋅40∘=100∘180^\circ - 2 \cdot 40^\circ = 100^\circ. Соседний угол 80∘80^\circ, острый из них 80∘80^\circ.

    Отдельная страница задачи
  6. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

    Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол 45∘45^\circ. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 3 и 9.

    Рисунок к задаче: трапеция

    Показать ответ и решение

    Ответ: 6

    Высота из вершины меньшего основания отсекает от большего основания отрезок a+b2\frac{a + b}{2} от противоположной вершины. Диагональ с этим отрезком и высотой образует прямоугольный треугольник с углом 45∘45^\circ, поэтому высота равна этому отрезку: 3+92=6\frac{3 + 9}{2} = 6.

    Отдельная страница задачи
  7. РомбОткрытый банк ФИПИ

    Острый угол ромба равен 44∘44^\circ. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?

    Рисунок к задаче: ромб

    Показать ответ и решение

    Ответ: 68

    Меньшая диагональ отсекает равнобедренный треугольник с углом 44∘44^\circ при вершине и двумя сторонами ромба. Углы при основании: 180∘−44∘2=68∘\frac{180^\circ - 44^\circ}{2} = 68^\circ.

    Отдельная страница задачи
  8. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

    В равнобедренной трапеции с основаниями ADAD и BCBC угол DD равен 73∘73^\circ. Диагональ ACAC образует со стороной ABAB угол 19∘19^\circ. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

    Рисунок к задаче: трапеция

    Показать ответ и решение

    Ответ: 54

    Трапеция равнобедренная, поэтому ∠A=∠D=73∘\angle A = \angle D = 73^\circ. ∠CAD=∠A−∠BAC=73∘−19∘=54∘\angle CAD = \angle A - \angle BAC = 73^\circ - 19^\circ = 54^\circ.

    Угол между диагональю и меньшим основанием BCBC равен ∠ACB=∠CAD=54∘\angle ACB = \angle CAD = 54^\circ как накрест лежащий.

    Отдельная страница задачи
  9. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

    Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол 45∘45^\circ. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 2 и 7.

    Рисунок к задаче: трапеция

    Показать ответ и решение

    Ответ: 4,5

    Высота из вершины меньшего основания отсекает от большего основания отрезок a+b2\frac{a + b}{2} от противоположной вершины. Диагональ с этим отрезком и высотой образует прямоугольный треугольник с углом 45∘45^\circ, поэтому высота равна этому отрезку: 2+72=4,5\frac{2 + 7}{2} = 4{,}5.

    Отдельная страница задачи
  10. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

    В равнобедренной трапеции с основаниями ADAD и BCBC угол DD равен 78∘78^\circ. Диагональ ACAC образует со стороной ABAB угол 32∘32^\circ. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

    Рисунок к задаче: трапеция

    Показать ответ и решение

    Ответ: 46

    Трапеция равнобедренная, поэтому ∠A=∠D=78∘\angle A = \angle D = 78^\circ. ∠CAD=∠A−∠BAC=78∘−32∘=46∘\angle CAD = \angle A - \angle BAC = 78^\circ - 32^\circ = 46^\circ.

    Угол между диагональю и меньшим основанием BCBC равен ∠ACB=∠CAD=46∘\angle ACB = \angle CAD = 46^\circ как накрест лежащий.

    Отдельная страница задачи

Разберём задание 17 с преподавателем

Первый урок бесплатный: покажем, где теряются баллы, и составим план до экзамена

Записаться на пробный урок