AuraLabAcademy

Задание 17 ОГЭ: четырёхугольники

Параллелограмм, ромб, трапеция: углы, стороны, площади. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 329 задач с ответами и решениями, на этой странице 291–300.

  1. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

    Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы 25∘25^\circ и 67∘67^\circ. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

    Рисунок к задаче: трапеция

    Показать ответ и решение

    Ответ: 69

    Пусть ACAC диагональ, ∠BAC=α\angle BAC = \alpha, ∠ACD=β\angle ACD = \beta, ∠CAD=x\angle CAD = x. Углы при основании равны: ∠D=∠A=α+x\angle D = \angle A = \alpha + x. В треугольнике ACDACD: x+β+α+x=180∘x + \beta + \alpha + x = 180^\circ, откуда угол при основании α+x=180∘+α−β2\alpha + x = \frac{180^\circ + \alpha - \beta}{2}.

    При большем основании угол острый, поэтому подставляем меньший угол как α\alpha: 180∘+25∘−67∘2=69∘\frac{180^\circ + 25^\circ - 67^\circ}{2} = 69^\circ.

    Отдельная страница задачи
  2. РомбОткрытый банк ФИПИ

    Один из углов ромба равен 130∘130^\circ. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?

    Рисунок к задаче: ромб

    Показать ответ и решение

    Ответ: 65

    Острый угол ромба 50∘50^\circ. Большая диагональ выходит из вершины острого угла и делит его пополам: 25∘25^\circ со стороной. Высота перпендикулярна стороне, поэтому в прямоугольном треугольнике угол между высотой и диагональю 90∘−25∘=65∘90^\circ - 25^\circ = 65^\circ.

    Отдельная страница задачи
  3. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

    В равнобедренной трапеции ABCDABCD угол DD равен 64∘64^\circ. Найдите градусную меру угла ACDACD, если луч ACAC является биссектрисой угла BADBAD.

    Рисунок к задаче: трапеция

    Показать ответ и решение

    Ответ: 84

    Трапеция равнобедренная: ∠BAD=∠D=64∘\angle BAD = \angle D = 64^\circ, биссектриса даёт ∠CAD=32∘\angle CAD = 32^\circ. В треугольнике ACDACD: ∠ACD=180∘−64∘−32∘=84∘\angle ACD = 180^\circ - 64^\circ - 32^\circ = 84^\circ.

    Отдельная страница задачи
  4. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

    В равнобедренной трапеции ABCDABCD угол DD равен 56∘56^\circ. Найдите градусную меру угла ACDACD, если луч ACAC является биссектрисой угла BADBAD.

    Рисунок к задаче: трапеция

    Показать ответ и решение

    Ответ: 96

    Трапеция равнобедренная: ∠BAD=∠D=56∘\angle BAD = \angle D = 56^\circ, биссектриса даёт ∠CAD=28∘\angle CAD = 28^\circ. В треугольнике ACDACD: ∠ACD=180∘−56∘−28∘=96∘\angle ACD = 180^\circ - 56^\circ - 28^\circ = 96^\circ.

    Отдельная страница задачи
  5. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

    Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 2 и 8. Найдите меньшее основание трапеции.

    Рисунок к задаче: трапеция

    Показать ответ и решение

    Ответ: 6

    Высоты из концов меньшего основания отсекают от большего основания два равных отрезка по 22. Большее основание 2+8=102 + 8 = 10, меньшее 10−2⋅2=610 - 2 \cdot 2 = 6.

    Отдельная страница задачи
  6. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

    В равнобедренной трапеции ABCDABCD угол DD равен 48∘48^\circ. Найдите градусную меру угла ACDACD, если луч ACAC является биссектрисой угла BADBAD.

    Рисунок к задаче: трапеция

    Показать ответ и решение

    Ответ: 108

    Трапеция равнобедренная: ∠BAD=∠D=48∘\angle BAD = \angle D = 48^\circ, биссектриса даёт ∠CAD=24∘\angle CAD = 24^\circ. В треугольнике ACDACD: ∠ACD=180∘−48∘−24∘=108∘\angle ACD = 180^\circ - 48^\circ - 24^\circ = 108^\circ.

    Отдельная страница задачи
  7. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

    Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 3 и 8. Найдите меньшее основание трапеции.

    Рисунок к задаче: трапеция

    Показать ответ и решение

    Ответ: 5

    Высоты из концов меньшего основания отсекают от большего основания два равных отрезка по 33. Большее основание 3+8=113 + 8 = 11, меньшее 11−2⋅3=511 - 2 \cdot 3 = 5.

    Отдельная страница задачи
  8. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

    Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы 26∘26^\circ и 84∘84^\circ. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

    Рисунок к задаче: трапеция

    Показать ответ и решение

    Ответ: 61

    Пусть ACAC диагональ, ∠BAC=α\angle BAC = \alpha, ∠ACD=β\angle ACD = \beta, ∠CAD=x\angle CAD = x. Углы при основании равны: ∠D=∠A=α+x\angle D = \angle A = \alpha + x. В треугольнике ACDACD: x+β+α+x=180∘x + \beta + \alpha + x = 180^\circ, откуда угол при основании α+x=180∘+α−β2\alpha + x = \frac{180^\circ + \alpha - \beta}{2}.

    При большем основании угол острый, поэтому подставляем меньший угол как α\alpha: 180∘+26∘−84∘2=61∘\frac{180^\circ + 26^\circ - 84^\circ}{2} = 61^\circ.

    Отдельная страница задачи
  9. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

    Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 2 и 7. Найдите меньшее основание трапеции.

    Рисунок к задаче: трапеция

    Показать ответ и решение

    Ответ: 5

    Высоты из концов меньшего основания отсекают от большего основания два равных отрезка по 22. Большее основание 2+7=92 + 7 = 9, меньшее 9−2⋅2=59 - 2 \cdot 2 = 5.

    Отдельная страница задачи
  10. РомбОткрытый банк ФИПИ

    Один из углов ромба равен 126∘126^\circ. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?

    Рисунок к задаче: ромб

    Показать ответ и решение

    Ответ: 63

    Острый угол ромба 54∘54^\circ. Большая диагональ выходит из вершины острого угла и делит его пополам: 27∘27^\circ со стороной. Высота перпендикулярна стороне, поэтому в прямоугольном треугольнике угол между высотой и диагональю 90∘−27∘=63∘90^\circ - 27^\circ = 63^\circ.

    Отдельная страница задачи

Разберём задание 17 с преподавателем

Первый урок бесплатный: покажем, где теряются баллы, и составим план до экзамена

Записаться на пробный урок