Задание 17 ОГЭ: четырёхугольники

Параллелограмм, ромб, трапеция: углы, стороны, площади. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 329 задач с ответами и решениями, на этой странице 211–220.

1. Фигуры на клеткахОткрытый банк ФИПИ

   На клетчатой бумаге с размером клетки $1\cdot 1$ изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 12

   Диагонали ромба идут по линиям сетки: $12$ и $2$ клеток. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: $\frac{12 \cdot 2}{2} = 12$.

   Отдельная страница задачи
2. Фигуры на клеткахОткрытый банк ФИПИ

   На клетчатой бумаге с размером клетки $1\cdot 1$ изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 6

   Диагонали ромба идут по линиям сетки, считаем клетки: $6$ и $2$. Большая диагональ $6$.

   Отдельная страница задачи
3. ПрямоугольникОткрытый банк ФИПИ

   Диагональ прямоугольника образует угол $50^\circ$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 80

   Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам, поэтому треугольник из половин диагоналей и стороны равнобедренный с углами $50^\circ$ при основании. Угол между диагоналями $180^\circ - 2 \cdot 50^\circ = 80^\circ$.

   Отдельная страница задачи
4. ПараллелограммОткрытый банк ФИПИ

   Площадь параллелограмма равна 60, а две его стороны равны 4 и 20. Найдите его высоты. В ответе укажите бо́льшую высоту.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 15

   Высота равна площади, делённой на сторону, к которой она проведена: $\frac{60}{4} = 15$ и $\frac{60}{20} = 3$. Большая высота $15$.

   Отдельная страница задачи
5. ПараллелограммОткрытый банк ФИПИ

   Диагональ $AC$ параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные $35^\circ$ и $30^\circ$. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 115

   Угол параллелограмма при вершине, из которой выходит диагональ, равен сумме этих углов: $35^\circ + 30^\circ = 65^\circ$. Соседний угол $180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$. Больший из них $115^\circ$.

   Отдельная страница задачи
6. ПрямоугольникОткрытый банк ФИПИ

   Диагонали $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $BO=12$, $AB=18$. Найдите $AC$.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 24

   Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам: $AC = BD = 2 \cdot 12 = 24$.

   Отдельная страница задачи
7. ПрямоугольникОткрытый банк ФИПИ

   Диагональ прямоугольника образует угол $86^\circ$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 8

   Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам, поэтому треугольник из половин диагоналей и стороны равнобедренный с углами $86^\circ$ при основании. Угол между диагоналями $180^\circ - 2 \cdot 86^\circ = 8^\circ$.

   Отдельная страница задачи
8. ТрапецияОткрытый банк ФИПИ

   Один из углов прямоугольной трапеции равен $72^\circ$. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 108

   Углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают $180^\circ$, поэтому у фигуры есть углы $72^\circ$ и $180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$ (и два прямых). Больший угол $108^\circ$.

   Отдельная страница задачи
9. ПараллелограммОткрытый банк ФИПИ

   Найдите острый угол параллелограмма $ABCD$, если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $16^\circ$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 32

   Пусть биссектриса пересекает $BC$ в точке $E$. Угол $AEB$ равен углу $EAD$ как накрест лежащий, а он половина угла $A$. Значит, $\angle A = 2 \cdot 16^\circ = 32^\circ$.

   Отдельная страница задачи
10. ПараллелограммОткрытый банк ФИПИ

    Найдите острый угол параллелограмма $ABCD$, если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $8^\circ$. Ответ дайте в градусах.

    

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 16

    Пусть биссектриса пересекает $BC$ в точке $E$. Угол $AEB$ равен углу $EAD$ как накрест лежащий, а он половина угла $A$. Значит, $\angle A = 2 \cdot 8^\circ = 16^\circ$.

    Отдельная страница задачи