Задание 8 ОГЭ: степени и корни

Значение выражения со степенями и корнями, формулы сокращённого умножения. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 321 задача с ответами и решениями, на этой странице 101–110.

1. Формулы сокращённого умноженияОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $(\sqrt{19}-\sqrt{5})(\sqrt{19}+\sqrt{5})$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 14

   По формуле разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$:

   $$(\sqrt{19})^2 - (\sqrt{5})^2 = 19 - 5 = 14.$$

   Отдельная страница задачи
2. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{{(a^{8})}^{2}}{a^{11}}$ при $a=2$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 32

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$\frac{{(a^{8})}^{2}}{a^{11}} = a^{8 \cdot 2 - 11} = a^{5}.$$

   Подставим $a = 2$: $2^{5} = 32$.

   Отдельная страница задачи
3. КорниОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \sqrt{\frac{25a^{19}}{a^{11}}}$ при $a=2$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 80

   Извлекаем корень: $\sqrt{t^2} = |t|$, показатели степени под корнем делятся пополам.

   $$\sqrt{\frac{25a^{19}}{a^{11}}} = \sqrt{25a^{8}} = 5|a^{4}|.$$

   При $a = 2$: $5 \cdot 2^{4} = 80$.

   Отдельная страница задачи
4. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{7^{-\,3}\cdot 7^{13}}{7^{8}}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 49

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$\frac{7^{-3}\cdot 7^{13}}{7^{8}} = 7^{-3 + 13 - 8} = 7^{2} = 49.$$

   Отдельная страница задачи
5. Формулы сокращённого умноженияОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 2

   По формуле разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$:

   $$(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2.$$

   Отдельная страница задачи
6. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{{(9^{3})}^{-\,4}}{9^{-\,14}}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 81

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$\frac{{(9^{3})}^{-4}}{9^{-14}} = 9^{3 \cdot (-4) + 14} = 9^{2} = 81.$$

   Отдельная страница задачи
7. КорниОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{\sqrt{65}\cdot \sqrt{13}}{\sqrt{5}}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 13

   Корни можно перемножать и делить под одним знаком:

   $$\frac{\sqrt{65} \cdot \sqrt{13}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{65 \cdot 13}{5}} = \sqrt{169} = 13.$$

   Отдельная страница задачи
8. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{a^{21}\cdot {(b^{6})}^{3}}{{(a\cdot b)}^{18}}$ при $a=3$ и $b=\sqrt{3}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 27

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$\frac{a^{21}\cdot {(b^{6})}^{3}}{{(a\cdot b)}^{18}} = a^{21 - 18} \cdot b^{6 \cdot 3 - 18} = a^{3}.$$

   Подставим $a = 3$ и $b = \sqrt{3}$: $3^{3} = 27$.

   Отдельная страница задачи
9. КорниОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \sqrt{\frac{16x^{4}}{y^{10}}}$ при $x=8$ и $y=2$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 8

   Извлекаем корень: $\sqrt{t^2} = |t|$, показатели степени под корнем делятся пополам.

   $$\sqrt{\frac{16x^{4}}{y^{10}}} = \frac{4|x^{2}|}{|y^{5}|}.$$

   При $x = 8$ и $y = 2$: $\frac{4 \cdot 8^{2}}{2^{5}} = 8$.

   Отдельная страница задачи
10. Формулы сокращённого умноженияОткрытый банк ФИПИ

    Найдите значение выражения $(\sqrt{41}-3)(\sqrt{41}+3)$.

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 32

    По формуле разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$:

    $$(\sqrt{41})^2 - 3^2 = 41 - 9 = 32.$$

    Отдельная страница задачи