Задание 8 ОГЭ: степени и корни

Значение выражения со степенями и корнями, формулы сокращённого умножения. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 321 задача с ответами и решениями, на этой странице 21–30.

1. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{2^{-\,3}\cdot 2^{19}}{2^{13}}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 8

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$\frac{2^{-3}\cdot 2^{19}}{2^{13}} = 2^{-3 + 19 - 13} = 2^{3} = 8.$$

   Отдельная страница задачи
2. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{3^{7}}{81}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 27

   Заметим, что $81 = 3^{4}$.

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$\frac{3^{7}}{81} = 3^{7 - 4} = 3^{3} = 27.$$

   Отдельная страница задачи
3. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\sqrt{5^{6}}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 125

   $$\sqrt{5^{6}} = 5^{3} = 125.$$

   Отдельная страница задачи
4. Формулы сокращённого умноженияОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\sqrt{a^{2}+12ab+36b^{2}}$ при $a=7$ и $b=-\,3$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 11

   Под корнем полный квадрат: $a^2 + 12ab + 36b^2 = (a + 6b)^2$, а $\sqrt{t^2} = |t|$.

   При $a = 7$ и $b = -3$:

   $$\left|7 + 6 \cdot \left(-3\right)\right| = \left|-11\right| = 11.$$

   Отдельная страница задачи
5. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{{(a^{9})}^{3}\cdot a^{7}}{a^{29}}$ при $a=2$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 32

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$\frac{{(a^{9})}^{3}\cdot a^{7}}{a^{29}} = a^{9 \cdot 3 + 7 - 29} = a^{5}.$$

   Подставим $a = 2$: $2^{5} = 32$.

   Отдельная страница задачи
6. КорниОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{90}{{(3\sqrt{5})}^{2}}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 2

   $(3\sqrt{5})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$, поэтому

   $$\frac{90}{45} = 2.$$

   Отдельная страница задачи
7. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{a^{23}\cdot {(b^{5})}^{4}}{{(a\cdot b)}^{20}}$ при $a=2$ и $b=\sqrt{2}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 8

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$\frac{a^{23}\cdot {(b^{5})}^{4}}{{(a\cdot b)}^{20}} = a^{23 - 20} \cdot b^{5 \cdot 4 - 20} = a^{3}.$$

   Подставим $a = 2$ и $b = \sqrt{2}$: $2^{3} = 8$.

   Отдельная страница задачи
8. КорниОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\sqrt{11\cdot 18}\cdot \sqrt{22}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 66

   Внесём всё под один корень и разложим на множители:

   $$\sqrt{11 \cdot 18} \cdot \sqrt{22} = \sqrt{11 \cdot 18 \cdot 22} = \sqrt{2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 11^{2}} = 2 \cdot 3 \cdot 11 = 66.$$

   Отдельная страница задачи
9. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{1}{2^{-\,11}}\cdot \frac{1}{2^{7}}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 16

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$\frac{1}{2^{-11}}\cdot \frac{1}{2^{7}} = 2^{11 - 7} = 2^{4} = 16.$$

   Отдельная страница задачи
10. КорниОткрытый банк ФИПИ

    Найдите значение выражения $\displaystyle \sqrt{\frac{36x^{4}}{y^{2}}}$ при $x=6$ и $y=9$.

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 24

    Извлекаем корень: $\sqrt{t^2} = |t|$, показатели степени под корнем делятся пополам.

    $$\sqrt{\frac{36x^{4}}{y^{2}}} = \frac{6|x^{2}|}{|y^{1}|}.$$

    При $x = 6$ и $y = 9$: $\frac{6 \cdot 6^{2}}{9^{1}} = 24$.

    Отдельная страница задачи