Задание 8 ОГЭ: степени и корни

Значение выражения со степенями и корнями, формулы сокращённого умножения. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 321 задача с ответами и решениями, на этой странице 291–300.

1. КорниОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\sqrt{5\cdot 18}\cdot \sqrt{10}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 30

   Внесём всё под один корень и разложим на множители:

   $$\sqrt{5 \cdot 18} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{5 \cdot 18 \cdot 10} = \sqrt{2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}} = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30.$$

   Отдельная страница задачи
2. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{{(3\cdot 4)}^{4}}{3^{2}\cdot 4^{3}}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 36

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$\frac{{(3\cdot 4)}^{4}}{3^{2}\cdot 4^{3}} = 3^{4 - 2} \cdot 4^{4 - 3} = 3^{2} \cdot 4 = 36.$$

   Отдельная страница задачи
3. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{a^{22}\cdot {(b^{3})}^{6}}{{(a\cdot b)}^{18}}$ при $a=2$ и $b=\sqrt{2}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 16

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$\frac{a^{22}\cdot {(b^{3})}^{6}}{{(a\cdot b)}^{18}} = a^{22 - 18} \cdot b^{3 \cdot 6 - 18} = a^{4}.$$

   Подставим $a = 2$ и $b = \sqrt{2}$: $2^{4} = 16$.

   Отдельная страница задачи
4. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $a^{21}\cdot a^{-\,8}:a^{11}$ при $a=5$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 25

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$a^{21}\cdot a^{-8}:a^{11} = a^{21 - 8 - 11} = a^{2}.$$

   Подставим $a = 5$: $5^{2} = 25$.

   Отдельная страница задачи
5. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $5^{-\,7}\cdot {(5^{5})}^{2}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 125

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$5^{-7}\cdot {(5^{5})}^{2} = 5^{-7 + 5 \cdot 2} = 5^{3} = 125.$$

   Отдельная страница задачи
6. Формулы сокращённого умноженияОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $(\sqrt{19}-4)(\sqrt{19}+4)$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 3

   По формуле разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$:

   $$(\sqrt{19})^2 - 4^2 = 19 - 16 = 3.$$

   Отдельная страница задачи
7. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{a^{18}\cdot {(b^{7})}^{2}}{{(a\cdot b)}^{14}}$ при $a=3$ и $b=\sqrt{3}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 81

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$\frac{a^{18}\cdot {(b^{7})}^{2}}{{(a\cdot b)}^{14}} = a^{18 - 14} \cdot b^{7 \cdot 2 - 14} = a^{4}.$$

   Подставим $a = 3$ и $b = \sqrt{3}$: $3^{4} = 81$.

   Отдельная страница задачи
8. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{{(a^{3})}^{5}}{a^{11}}$ при $a=3$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 81

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$\frac{{(a^{3})}^{5}}{a^{11}} = a^{3 \cdot 5 - 11} = a^{4}.$$

   Подставим $a = 3$: $3^{4} = 81$.

   Отдельная страница задачи
9. КорниОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{25}\cdot x^{6}y^{4}}$ при $x=5$ и $y=2$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 100

   Извлекаем корень: $\sqrt{t^2} = |t|$, показатели степени под корнем делятся пополам.

   $$\sqrt{\frac{1}{25}\cdot x^{6}y^{4}} = \frac{1}{5} \cdot |x^{3}| \cdot |y^{2}|.$$

   При $x = 5$ и $y = 2$: $\frac{1}{5} \cdot 5^{3} \cdot 2^{2} = 100$.

   Отдельная страница задачи
10. СтепениОткрытый банк ФИПИ

    Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{{20}^{7}}{4^{6}\cdot 5^{5}}$.

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 100

    Заметим, что $20 = 4 \cdot 5$.

    Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

    $$\frac{{20}^{7}}{4^{6}\cdot 5^{5}} = 4^{7 - 6} \cdot 5^{7 - 5} = 4 \cdot 5^{2} = 100.$$

    Отдельная страница задачи