Задание 8 ОГЭ: степени и корни

Значение выражения со степенями и корнями, формулы сокращённого умножения. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 321 задача с ответами и решениями, на этой странице 211–220.

1. Формулы сокращённого умноженияОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 4

   По формуле разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$:

   $$(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4.$$

   Отдельная страница задачи
2. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{{(3\cdot 8)}^{7}}{3^{7}\cdot 8^{5}}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 64

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$\frac{{(3\cdot 8)}^{7}}{3^{7}\cdot 8^{5}} = 3^{7 - 7} \cdot 8^{7 - 5} = 8^{2} = 64.$$

   Отдельная страница задачи
3. КорниОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \sqrt{\frac{9x^{4}}{y^{6}}}$ при $x=9$ и $y=3$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 9

   Извлекаем корень: $\sqrt{t^2} = |t|$, показатели степени под корнем делятся пополам.

   $$\sqrt{\frac{9x^{4}}{y^{6}}} = \frac{3|x^{2}|}{|y^{3}|}.$$

   При $x = 9$ и $y = 3$: $\frac{3 \cdot 9^{2}}{3^{3}} = 9$.

   Отдельная страница задачи
4. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $a^{-\,12}\cdot {(a^{7})}^{2}$ при $a=6$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 36

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$a^{-12}\cdot {(a^{7})}^{2} = a^{-12 + 7 \cdot 2} = a^{2}.$$

   Подставим $a = 6$: $6^{2} = 36$.

   Отдельная страница задачи
5. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{{(2^{4})}^{-\,6}}{2^{-\,27}}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 8

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$\frac{{(2^{4})}^{-6}}{2^{-27}} = 2^{4 \cdot (-6) + 27} = 2^{3} = 8.$$

   Отдельная страница задачи
6. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $a^{9}\cdot a^{12}:a^{17}$ при $a=3$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 81

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$a^{9}\cdot a^{12}:a^{17} = a^{9 + 12 - 17} = a^{4}.$$

   Подставим $a = 3$: $3^{4} = 81$.

   Отдельная страница задачи
7. Формулы сокращённого умноженияОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\sqrt{a^{2}+6ab+9b^{2}}$ при $a=5$ и $b=-\,4$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 7

   Под корнем полный квадрат: $a^2 + 6ab + 9b^2 = (a + 3b)^2$, а $\sqrt{t^2} = |t|$.

   При $a = 5$ и $b = -4$:

   $$\left|5 + 3 \cdot \left(-4\right)\right| = \left|-7\right| = 7.$$

   Отдельная страница задачи
8. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $a^{-\,10}\cdot {(a^{4})}^{3}$ при $a=4$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 16

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$a^{-10}\cdot {(a^{4})}^{3} = a^{-10 + 4 \cdot 3} = a^{2}.$$

   Подставим $a = 4$: $4^{2} = 16$.

   Отдельная страница задачи
9. Формулы сокращённого умноженияОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\sqrt{a^{2}+4ab+4b^{2}}$ при $a=2$ и $b=-\,4$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 6

   Под корнем полный квадрат: $a^2 + 4ab + 4b^2 = (a + 2b)^2$, а $\sqrt{t^2} = |t|$.

   При $a = 2$ и $b = -4$:

   $$\left|2 + 2 \cdot \left(-4\right)\right| = \left|-6\right| = 6.$$

   Отдельная страница задачи
10. СтепениОткрытый банк ФИПИ

    Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{{21}^{4}}{3^{2}\cdot 7^{3}}$.

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 63

    Заметим, что $21 = 3 \cdot 7$.

    Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

    $$\frac{{21}^{4}}{3^{2}\cdot 7^{3}} = 3^{4 - 2} \cdot 7^{4 - 3} = 3^{2} \cdot 7 = 63.$$

    Отдельная страница задачи