Задание 8 ОГЭ: степени и корни

Значение выражения со степенями и корнями, формулы сокращённого умножения. Часть 1, уровень базовый, 1 балл. Здесь 321 задача с ответами и решениями, на этой странице 231–240.

1. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{6^{5}}{2^{3}\cdot 3^{4}}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 12

   Заметим, что $6 = 2 \cdot 3$.

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$\frac{6^{5}}{2^{3}\cdot 3^{4}} = 2^{5 - 3} \cdot 3^{5 - 4} = 2^{2} \cdot 3 = 12.$$

   Отдельная страница задачи
2. КорниОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{\sqrt{15}\cdot \sqrt{12}}{\sqrt{20}}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 3

   Корни можно перемножать и делить под одним знаком:

   $$\frac{\sqrt{15} \cdot \sqrt{12}}{\sqrt{20}} = \sqrt{\frac{15 \cdot 12}{20}} = \sqrt{9} = 3.$$

   Отдельная страница задачи
3. КорниОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\sqrt{{(-\,a)}^{4}\cdot a^{4}}$ при $a=2$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 16

   Извлекаем корень: $\sqrt{t^2} = |t|$, показатели степени под корнем делятся пополам.

   $$\sqrt{{(-a)}^{4}\cdot a^{4}} = \sqrt{a^{8}} = |a^{4}|.$$

   При $a = 2$: $2^{4} = 16$.

   Отдельная страница задачи
4. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{{(a^{6})}^{3}}{a^{15}}$ при $a=4$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 64

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$\frac{{(a^{6})}^{3}}{a^{15}} = a^{6 \cdot 3 - 15} = a^{3}.$$

   Подставим $a = 4$: $4^{3} = 64$.

   Отдельная страница задачи
5. Формулы сокращённого умноженияОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\sqrt{a^{2}+8ab+16b^{2}}$ при $a=3$ и $b=-\,4$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 13

   Под корнем полный квадрат: $a^2 + 8ab + 16b^2 = (a + 4b)^2$, а $\sqrt{t^2} = |t|$.

   При $a = 3$ и $b = -4$:

   $$\left|3 + 4 \cdot \left(-4\right)\right| = \left|-13\right| = 13.$$

   Отдельная страница задачи
6. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{{(a^{3})}^{4}\cdot a^{12}}{a^{21}}$ при $a=5$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 125

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$\frac{{(a^{3})}^{4}\cdot a^{12}}{a^{21}} = a^{3 \cdot 4 + 12 - 21} = a^{3}.$$

   Подставим $a = 5$: $5^{3} = 125$.

   Отдельная страница задачи
7. КорниОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{160}{{(2\sqrt{5})}^{2}}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 8

   $(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$, поэтому

   $$\frac{160}{20} = 8.$$

   Отдельная страница задачи
8. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\sqrt{9^{4}}$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 81

   $$\sqrt{9^{4}} = 9^{2} = 81.$$

   Отдельная страница задачи
9. СтепениОткрытый банк ФИПИ

   Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{{(a^{7})}^{3}\cdot a^{10}}{a^{28}}$ при $a=2$.

   Ваш ответ

   Проверить

   Показать ответ и решение

   Ответ: 8

   Свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.

   $$\frac{{(a^{7})}^{3}\cdot a^{10}}{a^{28}} = a^{7 \cdot 3 + 10 - 28} = a^{3}.$$

   Подставим $a = 2$: $2^{3} = 8$.

   Отдельная страница задачи
10. КорниОткрытый банк ФИПИ

    Найдите значение выражения $(\sqrt{125}+\sqrt{5})\cdot \sqrt{5}$.

    Ваш ответ

    Проверить

    Показать ответ и решение

    Ответ: 30

    Раскроем скобки:

    $$\sqrt{125} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{625} + \sqrt{25} = 25 + 5 = 30.$$

    Отдельная страница задачи